Hej:)
Proszę o pomoc w sprawdzeniu zbieżności następującego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n} }{ \sqrt{n} +\left( -1\right) ^{n} }}\)
zbieżność szeregu
-
małgosia
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 30 gru 2006, o 21:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krotoszyn
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 5 razy
zbieżność szeregu
Próbowałam, ale ciąg:
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{ \sqrt{n} +\left( -1\right)^n }}\)
nie jest monotoniczny-- 6 listopada 2010, 20:31 --czy ktoś ma jeszcze inne pomysły?
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{ \sqrt{n} +\left( -1\right)^n }}\)
nie jest monotoniczny-- 6 listopada 2010, 20:31 --czy ktoś ma jeszcze inne pomysły?
-
szw1710
zbieżność szeregu
Nie jest monotoniczny - masz rację. Jeśli ten szereg jest zbieżny, to tylko warunkowo, bo
\(\displaystyle{ (-1)^n\le\sqrt{n}}\),
skąd
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{n}}\le\frac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n}}\)
i z kryterium porównawczego wynika rozbieżność szeregu modułów.
Szereg jest jednak rozbieżny. Niech
\(\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}}\)
Po przekształceniu mamy
\(\displaystyle{ a_n=(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n-1}-\frac{1}{n-1}}\)
Ciąg o wyrazie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{n-1}}\) jest malejący i zmierza do zera (można to sprawdzić przez cierpliwe rozpisanie różnicy wyrazu następnego i poprzedniego - różnica pierwiastków, potem wspólny mianownik itp.), więc szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n-1}}\) jest zbieżny z kryterium Leibniza. Teraz gdyby szereg wyjściowy był zbieżny, to odejmując od jego wyrazu wyraz powyższego szeregu otrzymalibyśmy zbieżność szeregu harmonicznego.
\(\displaystyle{ (-1)^n\le\sqrt{n}}\),
skąd
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{n}}\le\frac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n}}\)
i z kryterium porównawczego wynika rozbieżność szeregu modułów.
Szereg jest jednak rozbieżny. Niech
\(\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}}\)
Po przekształceniu mamy
\(\displaystyle{ a_n=(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n-1}-\frac{1}{n-1}}\)
Ciąg o wyrazie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{n-1}}\) jest malejący i zmierza do zera (można to sprawdzić przez cierpliwe rozpisanie różnicy wyrazu następnego i poprzedniego - różnica pierwiastków, potem wspólny mianownik itp.), więc szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n-1}}\) jest zbieżny z kryterium Leibniza. Teraz gdyby szereg wyjściowy był zbieżny, to odejmując od jego wyrazu wyraz powyższego szeregu otrzymalibyśmy zbieżność szeregu harmonicznego.