odległość punktu od wykresu

bane · Post autor: **bane** » 31 sie 2006, o 16:45

Kurcze, nie bijcie jak nie ten dział bo pojęcia nie mam gdzie by to mogło pasować...

A problem jest taki: jak wyprowadzić wzór na odlegość punktu (powiedzmy jakiegoś tam \(\displaystyle{ (x_0, y_0)}\)) od wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) ?

I nie mylić z odległoscią punktu od prostej, bo to akurat nie problem Dla ułatwienia może załóżmy, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest funkcją kwadratową (chociaż wolałbym jakieś uniwersalne wyprowadzenie).

mirek · Post autor: **mirek** » 31 sie 2006, o 17:17

Na konkretny wzór nie masz co chyba liczyć. Ale algorytm tak:)
1. Sprawdzam czy punkt należy do wykresu. Jeżeli tak to odp.=0 jeżeli nie to:
2. Badam kwadrat odległości tego punktu (xo, yo) od dowolnego punktu funnkcji f(x) punkt = (x, f(x))
D(x) = (x-xo)^2 + (f(x)-yo)^2
3. Liczę minimum funkcji D(x) (musi być najkrótszy odcinek)
4. KONIEC

bane · Post autor: **bane** » 31 sie 2006, o 19:14

masz rację, chyba to bez szans, ale mam za to inne pytanie w tym temacie:

Jak wyznaczyć wzór trójmianu, którego każdy punkt jest oddalony od wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=x^2-4x+7}\) o 1 ? Chodzi o wzór funkcji kwadratowej której parabolka 'obejmuje' wykres tej danej funkcji w stałej odległości równej 1. To już chyba powinno być możliwe do wyznaczenia.

Pierwszy krok to pewnie wyznaczenie wierzchołka, ale co później??

Post autor: **Lorek** » 31 sie 2006, o 20:04

Musisz znaleźć taką funkcję \(\displaystyle{ g(x)}\), aby \(\displaystyle{ |g(x)-f(x)|=1}\)(są 2 takie funkcje).

Oczywiście \(\displaystyle{ f(x)=x^2-4x+7}\)

mirek · Post autor: **mirek** » 31 sie 2006, o 21:55

Co do pytanka "bane" zadanie ciekawe. Zastanawiam się czy istnieje taka parabola.Ale do rzeczy:
Niech (xo, axo^2 + bxo + c) będzie dowolnym punktem należącym do szukanej paraboli. Musi zachodzić warunek:

dla każdego xo należącego do R minimum funkcji
D(x) = ( axo^2 + bxo + c - f(x))^2 + (x-xo)^2 musi być równe 1.
Teraz wystarczy podstawiać za xo 3 wartości np. 0, 1, -1. Dostaniemy 3 warunki na minimum=1. Założę się że taka funkcja nie istnieje ( wystarczy dla wyznaczonej funkcji sprawdzić dla czwartego xo)

bane · Post autor: **bane** » 31 sie 2006, o 22:13

mirek - masz rację! Nie może istnieć taka funkcja kwadratowa. I właściwie wpadłem na to w pamięci, odstawiając wszystkie rozpisywane na kartce zależności. Może jakiś wielomian stopnia parzystego \(\displaystyle{ \geq4}\) spełniałby to zalecenie odległości, ale na pewno nie trójmian. I tu przy dowodzie przyda się wskazówka Lorka (chętnym pozostawiam to do osobistej analizy, ewentualne wątpliwości rozwieję). Dziękuje Wam serdecznie!

PS: zadanie mojego skromnego autorstwa

Post autor: **Emiel Regis** » 3 wrz 2006, o 11:47

Ależ kombinacje, ja proponuję tak:
\(\displaystyle{ f(x)=x^2-4x+7 = (x-2)^2+3}\)
I teraz przesuwany funkcję o wektor np [0,1]
Chyba trójmianu już pisać nie musze;-)