Parabola i elipsa

[siwydym91]

Witam, dostałem zbiór kilkunastu zadań, z których nie mogę sobie poradzić z dwoma, proszę o pomoc. Jestem studentem pierwszego roku Informatyki lecz proszę, w miarę możliwości o dość jasne wytłumaczenie jak to zrobić.

1.Napisz równanie elipsy, której odległość od jednego ogniska do drugiego wynosi 4, współrzędne lewego ogniska wynoszą (-2,0), suma odległości dowolnego punktu elipsy od jej ognisk wynosi 3

2. Napisz równanie paraboli o kierownicy \(\displaystyle{ k:y=2x+5}\) i ognisku (6,0)

[Crizz]

Zadanie 2:

Zapisujemy następujący fakt: punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) należy do paraboli wtedy i tylko wtedy, gdy odległość od ogniska jest równa odległości od kierownicy:

\(\displaystyle{ \frac{|2x-y+5|}{\sqrt{5}}=\sqrt{(x-6)^{2}+y^{2}}\\
(2x-y+5)^{2}=5((x-6)^{2}+y^{2})}\)
upraszczasz i gotowe (skorzystałem ze wzoru na odległość punktu od prostej)-- 4 listopada 2010, 21:13 --Pierwsze zadanie jest mocno nieprecyzyjne, podejrzewam jednak, ze chodzi o elipsę, której osie są równoległe do osi układu, a środek znajduje się w jego początku (czyli o elpsę o równaniu \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1}\)).

Nie wiem, co to jest "prawe" i "lewe" ognisko elipsy, rozumiem jednak, że drugim ogniskiem ma być punkt \(\displaystyle{ (2,0)}\). To zadanie jest proste: gdzie na osi \(\displaystyle{ Oy}\) leżą punkty, których suma odległości od ognisk wynosi 3? A na osi \(\displaystyle{ Ox}\)? Jak je wyznaczysz, to będziesz mógł policzyć długość \(\displaystyle{ 2a}\) osi elipsy (równą odległości punktów na osi \(\displaystyle{ Ox}\)) oraz długość \(\displaystyle{ 2b}\) osi elipsy (równą odległości punktów na osi \(\displaystyle{ Oy}\)).

[siwydym91]

Zadanie drugie ok - dziękuję. Wszystko jasne. A tak przy okazji jak miałbym liczyć gdybym miał podane równanie paraboli i punkt a do wyliczenia byłaby kierownica oraz gdyby podane było równanie paraboli i kierownica a do wyznaczenia byłoby ognisko?

W zadaniu pierwszym, z tego co mi wiadomo, odpowiedzią ma być "rodzina elips" spełniających dany warunek dlatego chyba nie można przyjąć, że drugie ognisko jest w punkcie \(\displaystyle{ (2,0)}\) oraz, że osie są równoległe do osi \(\displaystyle{ OX, OY}\). Co do precyzji zadania przepisałem wszystko co miałem na kartce.

[Crizz]

W takim razie proponuję obliczyć jednak równanie tej elipsy tak, jak to opisałem, a potem będziemy obracać tę elipsę wokół podanego ogniska.-- 5 listopada 2010, 21:18 --

A tak przy okazji jak miałbym liczyć gdybym miał podane równanie paraboli i punkt a do wyliczenia byłaby kierownica oraz gdyby podane było równanie paraboli i kierownica a do wyznaczenia byłoby ognisko?

Można wstawić do takiej samej zależności to, co wiesz (oznaczając jako niewiadome współrzędne ogniska lub współczynniki w równaniu kierownicy), a następnie uprościć otrzymane równanie i porównać je z równaniem paraboli.

Przykładowo, gdybyśmy mieli znaleźć ognisko paraboli o równaniu \(\displaystyle{ x^2-80x+4xy+4y^2+10y+155=0}\) wiedząc, że kierownicą jest \(\displaystyle{ y=2x+5}\), to zapisujemy:
\(\displaystyle{ \frac{|2x-y+5|}{\sqrt{5}}=\sqrt{(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}\\ ...\\
x^{2}-10(p+2)x+4xy+10(1-q)y+5p^{2}+5q^{2}-25=0}\)

Porównując współczynniki w obu równaniach, otrzymujemy zależności \(\displaystyle{ 10(p+2)=80,10(1-q)=10,5p^2+5q^2-25=155}\), skąd \(\displaystyle{ (p,q)=(6,0)}\).

Zauważ jednak, że znajomość i kierownicy, i równania paraboli to sporo

[LOSE226]

Prosze o pomoc poniewaz po uproszczeniu nie wychodzi mi równanie paraboli w zadaniu 2

[Crizz]

Z czym konkretnie jest problem? Pokaż obliczenia.

[LOSE226]

wychodzi mi po wymnożeniu \(\displaystyle{ 5x ^{2} - 60x +180 +5y ^{2} = 4x ^{2} -4xy + 20x - 10 y +25}\) po przesunięciu na lewa stronę wychodzi jakaś głupota

[Crizz]

No prawidłowo powinno wyjść \(\displaystyle{ x^{2}-80x+4xy+4y^{2}+10y+155=0}\), a czemu sądzisz, że to głupota?

[LOSE226]

acha przepraszam ciagle mi chodzi po głowie to 1 zadanie z elipsa poniewaz troche mnie ono irytuje nie moge sobie z tamtym również poradzic i co smieszne całyczas widziałem to zadanie jak \(\displaystyle{ \frac{x ^{2}}{a ^{2}}+\frac{y ^{2}}{b ^{2}} =1}\) ale teraz juz wszystko jasne dziekuje za pomoc