granica ilorazu logarytmow naturalnych

[SK8]

Jak policzyć taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}\frac{ln(2^{x}+1)}{ln(3^{x}+1)}}\)

[Mortify]

wskazówka:

do czego dąży:
\(\displaystyle{ \frac{ln(2^x+1}{2^x}) \ przy \ x->-\infty}\)?

[SK8]

przy x dążącym do 0 to dąży do 1. ale przy -nieskończoności to nie wiem

[Mortify]

Nie. Mylisz granice. Przy \(\displaystyle{ x \to 0}\) \(\displaystyle{ \frac{\ln(2^x+1)}{2^x} \to \frac{\ln(2^0+1)}{2^0}= \ln2 \neq 1}\)

Mamy takie coś:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{ln(x+1)}{x}=1}\)

a ile wynosi taka granica:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ -\infty} 2^x}\) ?

Podpowiedź: \(\displaystyle{ t=-x}\) więc mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ -\infty} 2^x= \lim_{t\to\infty} \frac{1}{2^t}}\). A ile to jest?

I jeszcze jedna podpowiedź do zadania: ogólniej mamy też prawdziwe takie coś:

jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n = 0}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(a_n+1)}{a_n}=1}\)
czyli: \(\displaystyle{ \lim_{a_n\to 0}\frac{\ln(a_n+1)}{a_n}=1}\)