\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left( \frac{3}{2}\right) ^{x} \cdot\frac{2 ^{x+1}-1 }{3 ^{x+1}-1 }}\)
Prosze mi wyjaśnić dlaczego wynik wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
Z góry dziękuję
Obliczyć granicę
-
Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
Obliczyć granicę
Z grubsza rozpisałbym to tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty} \left( \frac{3}{2}\right)^{x} \cdot \frac{2 ^{x+1}-1 }{3 ^{x+1}-1 } = \lim_{ x\to \infty } \frac{2 \cdot 6^{x} - 3^x}{3 \cdot 6^{x} - 2^x} = \lim_{x\to\infty} \frac{2}{3} \cdot \frac{6^x - 3^x}{6^x - 2^x} = \lim_{x\to\infty} \frac{2}{3} \cdot \frac{1 - \overbrace{\left(\frac{1}{2}\right)^x}^{\nearrow^0}}{1 - \underbrace{\left(\frac{1}{3}\right)^x}_{\searrow_0}} = \frac{2}{3} .}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty} \left( \frac{3}{2}\right)^{x} \cdot \frac{2 ^{x+1}-1 }{3 ^{x+1}-1 } = \lim_{ x\to \infty } \frac{2 \cdot 6^{x} - 3^x}{3 \cdot 6^{x} - 2^x} = \lim_{x\to\infty} \frac{2}{3} \cdot \frac{6^x - 3^x}{6^x - 2^x} = \lim_{x\to\infty} \frac{2}{3} \cdot \frac{1 - \overbrace{\left(\frac{1}{2}\right)^x}^{\nearrow^0}}{1 - \underbrace{\left(\frac{1}{3}\right)^x}_{\searrow_0}} = \frac{2}{3} .}\)