objętość bryły

[lolek900]

Cześć,
Mam problem z takim zadaniem, w którym należy policzyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}}\),
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = R(R - 2z)}\)

Proszę o pomoc, bo nie wiem, co z tym zadaniem zrobić ;/

[Mariusz M]

Przejść na biegunowe
Wyznaczyć promień i kąt
Policzyć sumę dwóch całek podwójnych

[lolek900]

po przejściu na układ biegunowy mam:
\(\displaystyle{ r^{2} + z^{2} = R^{2} \Rightarrow r = \sqrt{R^{2} - z^{2}}}\)
i
\(\displaystyle{ r^{2} = R(R - 2z)}\)

nie wiem jak wyznaczyć kąt i sumę całek z jakich funkcji i w jakich granicach?

hmm...
wyznaczyłem sobie \(\displaystyle{ z}\) z pierwszego i \(\displaystyle{ z}\) z drugiego równania i mam:
(1) \(\displaystyle{ z = \sqrt{R^{2} - r^{2}}}\)
(2)\(\displaystyle{ z = \frac{R^{2} - z^{2}}{2R}}\)

i chodzi o to żeby policzyć całkę:
\(\displaystyle{ \int \int (1)\cdot r dr d\varphi + \int \int (2)\cdot r dr d\varphi}\) ??
nie za bardzo rozumiem i jeśli tak ma być, to w jakich granicach?

[Mariusz M]

Cześć,
Mam problem z takim zadaniem, w którym należy policzyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}}\),
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = R(R - 2z)}\)

Proszę o pomoc, bo nie wiem, co z tym zadaniem zrobić ;/

\(\displaystyle{ z^{2} = R^{2}-\left( x^{2} + y^{2}\right)}\),
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = R^2 - 2Rz}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} z=\pm \sqrt{R^2-\left( x^2+y^2\right) } \\ z= \frac{1}{2R}\left( R^2-\left( x^2+y^2\right) \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2R}\left( R^2-r^2\right)= \sqrt{R^2-r^2}\\
\frac{1}{4R^2}\left( R^4-2R^2r^2+r^4\right)= R^2-r^2\\
R^4-2R^2r^2+r^4=4R^4-4R^2r^2\\
R^4+2R^2r^2+r^4-4R^4=0\\
\left( R^2+r^2\right)^2-\left( 2R^2\right)^2=0\\
\left( r^2+3R^2\right)\left( r^2-R^2\right)=0}\)

\(\displaystyle{ r \in \left( -R,R\right) \wedge r \geq 0}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\varphi}{ \mbox{d}\varphi} \int_{0}^{R}{ \left( \frac{1}{2R}\left( R^2-r^2\right)- \sqrt{R^2-r^2} \right) r \mbox{d}r }}\)

No i teraz nie jestem pewien czy należy liczyć drugą całkę

\(\displaystyle{ \begin{cases} z=- \sqrt{R^2-\left( x^2+y^2\right) } \\ z= \frac{1}{2R}\left( R^2-\left( x^2+y^2\right) \right) \end{cases}}\)

Może z rysunku będzie widać

[lolek900]

prześledziłem sobie to rozwiązanie, najlepiej właśnie wszystko byłoby widać na rysunku;
dziękuję ogromnie za pomoc