Suma rodziny relacji

[Linkas]

Witam
Tak jak w tytule czy suma rodziny relacji przeciwzwrotnych jest relacją przeciwzwrotną? Wydaje mi się, że tak.

[Qń]

Istotnie, jest.

Q.

[mathac]

Hmm jestem ciekaw jak można to wykazać

[Heniek1991]

Moim zdaniem należy to pokazać nie wprost.

Weźmy dowolne x, takie że \(\displaystyle{ x \in A}\)Załóżmy, że \(\displaystyle{ <x,x> \in \bigcup_{}^{} R}\). Czyli, że istnieje taka r (relacja przeciwzwrotna), że \(\displaystyle{ r \in R \Rightarrow <x,x> \in r}\). Osiągnęliśmy sprzeczność.

[macciej91]

A czy można przyjąć równoważną (wg. mnie) definicję relacji przeciwzwrotnej:
\(\displaystyle{ <a,b> \in r \Rightarrow a \neq b}\)?
Jeśli tak, to można dowodzić tego również wprost.

[Jan Kraszewski]

Można (tylko warto uzasadnić, że jest ona istotnie równoważna...). Pytanie tylko, czy tak jest wygodniej.

JK

[macciej91]

Nie wiem, czy tak jest wygodniej, ale jest to pierwsza rzecz, która mi przyszła do głowy.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ s = \bigcup_{}^{} R}\), gdzie R to rodzina relacji przeciwzwrotnych.
Udowodnię, że jeśli \(\displaystyle{ <a,b> \in s}\) to \(\displaystyle{ a \neq b}\).
Zatem, jeśli \(\displaystyle{ <a,b> \in s}\) to \(\displaystyle{ \exists r \in R}\), takie że \(\displaystyle{ <a,b> \in r \subseteq s}\).
Z definicji relacji przeciwzwrotnej, jeśli \(\displaystyle{ <x,y> \in r \Rightarrow x \neq y}\), zatem \(\displaystyle{ a \neq b}\), co chciałem pokazać.

Swoją drogą, jak wykazać równoważność tych definicji? Czy po prostu z zasady kontrapozycji:
\(\displaystyle{ (<a,b> \in r \Rightarrow a \neq b) \Leftrightarrow (a=b \Rightarrow <a,b> \not\in r)}\)?

[Jan Kraszewski]

Nie wiem, czy tak jest wygodniej, ale jest to pierwsza rzecz, która mi przyszła do głowy.

No tak, sam rachunek identycznie wygodny, tylko jeszcze równoważność definicji dochodzi.

Swoją drogą, jak wykazać równoważność tych definicji? Czy po prostu z zasady kontrapozycji:
\(\displaystyle{ (<a,b> \in r \Rightarrow a \neq b) \Leftrightarrow (a=b \Rightarrow <a,b> \not\in r)}\)?

Tak, plus uważne spojrzenie na kwantyfikatory.

JK

[macciej91]

Jedno pytanie do uzupełnienia poprzedniej definicji.

Czy prawidłowe zastosowanie zadasy kontrapozycji wygląda w ten sposób:
\(\displaystyle{ (\forall a \exists b a=b \Rightarrow \neg <a,b> \in r) \Leftrightarrow \forall a,b <a,b> \in r \Rightarrow a \neq b}\)?
Czy jednak pomyliłem kwantyfikatory?

[Jan Kraszewski]

Pomyliłeś kwantyfikatory, mają być wszędzie same ogólne. O uważaniu na kwantyfikatory mówiłem w kontekście pokazywania równoważności tej definicji ze standardową.

JK