Obliczyć granice

[Deiwos]

Z twierdzenia o trzech ciągach wyznaczyc granice, dla

\(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt[n]{\frac{(-1)^{n}}{n}+2n}}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[Calasilyar]

w takim razie wyznaczamy takie \(\displaystyle{ b_{n}}\) i \(\displaystyle{ c_{n}}\), aby \(\displaystyle{ b_{n}\leq a_{n} \leq c_{n}}\).

\(\displaystyle{ b_{n}=\sqrt[n]{-\frac{1}{n}+2n}=\sqrt[n]{\frac{2n^{2}-1}{n}}}\)
\(\displaystyle{ c_{n}=\sqrt[n]{\frac{1}{n}+2n}=\sqrt[n]{\frac{2n^{2}+1}{n}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2n^{2}-1}{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2n^{2}-1}}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ 2n^{2}-1>0}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2n^{2}-1}=1}\)
i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1}\)

dlatego \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_{n}=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}c_{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2n^{2}+1}{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2n^{2}+1}}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ 2n^{2}+1>0}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2n^{2}+1}=1}\)
i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1}\)

dlatego \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}c_{n}=1}\)

z twierdzenia trzech ciągów wynika więc, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_{n}=1}\)

[Sir George]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \ = \ \sqrt[n]{-n \, + \, 2n\,} \ \ a_n \, = \, \sqrt[n]{\,\frac{(-1)^n}{n\,} \, + \, 2n \,} \ \ \sqrt[n]{n \, + \, 2n \,} \ = \ \sqrt[n]{3n}}\)

... i teraz tylko policzyć granicę \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \ \to \ 1}\) ...