Własności szczególne funkcji liczbowych - zadanie.

acer · Post autor: **acer** » 27 sie 2006, o 12:58

Mam problem z tym zadaniem:

Niech będzie dana funkcja określona na zbiorze (-a;a). Udowodnij, że każdą taką funkcję można przedstawić w postaci sumy pewnej funkcji parzystej i pewnej funkcji nieparzystej, przy czym przedstawienie takie jest jedyne.

Pozdrawiam!

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 27 sie 2006, o 15:15

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}}\)

acer · Post autor: **acer** » 27 sie 2006, o 15:44

mol_ksiazkowy, przyznam się, że jednak nie do końca rozumiem... To jest przecież tożsamość, a ja myślę, że powinna tu być zastosowana równość typu f(x)=g(x)+h(x), gdzie np. g(x) to funkcja parzysta, a h(x) nieparzysta. Natomiast f(x) to funkcja określona na zbiorze (-a;a). Jako banalny przykład podam odwzorowanie f(x)=x+1. Można tę funkcję zapisać, jako sumę funkcji g(x)=1 (f. parzysta) i h(x)=x (f. nieparzysta). W zamieszczonym dowodzie zastosowałeś (zastosował Pan) tylko oznaczenie f(x), z którego wynika, że owa funkcja musiałaby już być parzysta (lub nieparzysta), a przecież w moim przykładzie przyporządkowanie y=x+1 nie ma żadnej z powyższych szczególnych własności.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 27 sie 2006, o 20:51

heh....po prostu:
\(\displaystyle{ g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}\)
jest funkcją parzysta , zaś
\(\displaystyle{ h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}}\)
jest niepazrysta, przy dowolnej \(\displaystyle{ f}\). ..co łątwo sprawdzić tj, że \(\displaystyle{ g(-x)=g(x), h(-x)=-h(x)}\)W przykłądzie jaki podałeś tj. \(\displaystyle{ f(x)=1+x}\), wyglada to tak:
\(\displaystyle{ g(x)=\frac{1+x +(1+ -x)}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ h(x)=\frac{1+x -(1+ -x)}{2}=x}\)

acer · Post autor: **acer** » 27 sie 2006, o 21:09

Teraz mnie przekonałeś Wielkie dzieki za rozwiazanie!

mirek · Post autor: **mirek** » 27 sie 2006, o 22:05

A jak udowodnić że przedstawienie takie jest jedyne?

mu · Post autor: mu » 27 sie 2006, o 22:23

Powiedzmy, że są dwa: \(\displaystyle{ f = p_1 + n_1 = p_2 + n_2}\). Wtedy \(\displaystyle{ 0 = f - f = (p_1 - p_2) + (n_1 - n_2) = p + n}\), przy czym \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ n}\) są odpowiednio: parzystą i nieparzystą funkcją, jako różnica tychże. Ale \(\displaystyle{ 0}\) ma tylko jedną "postać" rozkładu na sumę: \(\displaystyle{ 0 = g + (-g)}\). A jeśli jedna z nich jest parzysta, to druga nie może być nieparzysta.

Jeśli coś jest niejasne, to pytaj

Pozdrawiam, mu