Rodzina relacji

mathac · Post autor: **mathac** » 29 paź 2010, o 20:52

Witam, otóż mam pytanie:
Czy iloczyn dowolnej niepustej rodziny relacji przeciwzwrotnych jest relacją przeciwzwrotną?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 29 paź 2010, o 20:54

Tak.

JK

stuart3 · Post autor: **stuart3** » 31 paź 2010, o 21:40

Tak z ciekawości: czy zwykle przyjmowaną definicję relacji przeciwzwrotnej (\(\displaystyle{ \forall x \in X: \lnot (x \ \varrho\ x)}\)) można przeformułować na:
\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Leftrightarrow a \not= b}\)?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 31 paź 2010, o 22:15

Oczywiście nie. Zdefiniowana przez Ciebie relacja \(\displaystyle{ \rho}\) istotnie jest przeciwzwrotna, ale jest dużo innych relacji przeciwzwrotnych, które nie spełniają tego warunku.

JK

stuart3 · Post autor: **stuart3** » 1 lis 2010, o 13:00

Jan Kraszewski pisze:Oczywiście nie. Zdefiniowana przez Ciebie relacja \(\displaystyle{ \rho}\) istotnie jest przeciwzwrotna, ale jest dużo innych relacji przeciwzwrotnych, które nie spełniają tego warunku.

JK

A mógłbym Pan podać przykład jakichś 2 relacji, które nie spełniają tego warunku? Sam nie za bardzo potrafię znaleźć...

I jeszcze pytanie: czy istnieje (istnieją?) jakiaś inna definicja relacji przeciwzwrotnej (tzn. równoważna powszechnie przyjmowanej)? I czy rzecz podobnie się ma do innych typów znanych relacji (zwrotnych, przechodnich)? Czy istnieją jakieś twierdzenia, które dotyczą formułowania definicji relacji?

Wiem, że są to dosyć ogólne (i dla wielu zapewne i banalne) pytania. Chcę jednak poznać "fundamenty" matematyki, dlatego tak się dopytuję

Post autor: **Jan Kraszewski** » 1 lis 2010, o 18:43

stuart3 pisze:A mógłbym Pan podać przykład jakichś 2 relacji, które nie spełniają tego warunku? Sam nie za bardzo potrafię znaleźć...

Np. relacja pusta albo relacja \(\displaystyle{ <}\) na zbiorze liczb rzeczywistych.
Zauważ, że myśląc o wykresie relacji relacja przeciwzwrotna to taka, która jest rozłączna z przekątną. Relacja przez Ciebie zdefiniowana to relacja, w której są WSZYSTKIE pary poza przekątną, czyli \(\displaystyle{ \rho=X^2 \setminus \Delta}\), gdzie \(\displaystyle{ \Delta=\{(x,x): x\in X\}}\). Jest oczywiście dużo relacji, które są rozłączne z przekątną.

stuart3 pisze:I jeszcze pytanie: czy istnieje (istnieją?) jakiaś inna definicja relacji przeciwzwrotnej (tzn. równoważna powszechnie przyjmowanej)? I czy rzecz podobnie się ma do innych typów znanych relacji (zwrotnych, przechodnich)? Czy istnieją jakieś twierdzenia, które dotyczą formułowania definicji relacji?

Używane definicje są na tyle użyteczne i zrozumiałe, że raczej nie używa się innych wersji (choć można je sobie wyobrazić). Co rozumiesz przez "twierdzenia, które dotyczą formułowania definicji relacji"?

JK

Heniek1991 · Post autor: **Heniek1991** » 1 lis 2010, o 19:42

Nie jestem pewny, ale wydaje mi się, że trzeba napisać w ten sposób: \(\displaystyle{ < \neg a,a> \in \bigcap_{}^{} R}\) czyli weźmy relację r, taką że \(\displaystyle{ r \in R}\) oraz \(\displaystyle{ < \neg a,a> \in r}\), co wynika z założenia.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 1 lis 2010, o 19:59

Raczej nie, choć myśl jest słuszna - to nie wygląda specjalnie na dowód, formalnie też jest błędny.

Dowód: ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x\in X}\) i niech \(\displaystyle{ \rho\in R}\) będzie dowolną relacją przeciwzwrotną (zauważ, że wystarczy, by tylko jedna relacja w rodzinie \(\displaystyle{ R}\) była przeciwzwrotna, to przekrój też będzie). Ponieważ \(\displaystyle{ \langle x,x\rangle\notin \rho}\), więc tym bardziej \(\displaystyle{ \langle x,x\rangle\notin \bigcap R}\).

JK

stuart3 · Post autor: **stuart3** » 1 lis 2010, o 20:18

Jan Kraszewski pisze:
stuart3 pisze:A mógłbym Pan podać przykład jakichś 2 relacji, które nie spełniają tego warunku? Sam nie za bardzo potrafię znaleźć...
Np. relacja pusta albo relacja \(\displaystyle{ <}\) na zbiorze liczb rzeczywistych.
Zauważ, że myśląc o wykresie relacji relacja przeciwzwrotna to taka, która jest rozłączna z przekątną. Relacja przez Ciebie zdefiniowana to relacja, w której są WSZYSTKIE pary poza przekątną, czyli \(\displaystyle{ \rho=x^2 \setminus \Delta}\), gdzie \(\displaystyle{ \Delta=\{(x,x): x\in X\}}\). Jest oczywiście dużo relacji, które są rozłączne z przekątną.

...

JK

Ok, a jeśli zamiast równoważności (\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Leftrightarrow a \not= b}\)) wezmę implikację (\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Rightarrow a \not= b}\))? Czy wtedy definicja będzie równoważna? Nie przywykłem jeszcze do języka matematyki wyższej, dopytuję się, żeby zrozumieć interesujące mnie działy.

I czy może Pan wskazać mi jakąś dobrą książkę dot. relacji (niekoniecznie po polsku, z tego co widzę, lepiej wytłumaczone jest to w książkach po angielsku)? Znam oczywiście podstawy, ale chcę wejść "głębiej". A coś do teorii mnogości w ogólności? I czy istnieje jakaś publikacja, w której są fundamenty matematyki? Mam na myśli takie "Elementy" Euklidesa dla Logiki i Teorii mnogości, czyli od aksjomatów wyprowadzone najważniejsze, fundamentalne twierdzenia/własności/fakty/itd.

Trochę zagmatwałem, ale mam nadzieje, że da się to zrozumieć. Będę wdzięczny za odpowiedzi.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 1 lis 2010, o 20:29

stuart3 pisze:Ok, a jeśli zamiast równoważności (\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Leftrightarrow a \not= b}\)) wezmę implikację (\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Rightarrow a \not= b}\))? Czy wtedy definicja będzie równoważna?

Tak (łatwo to zauważyć, stosując zasadę kontrapozycji do Twojej definicji).

stuart3 pisze:I czy może Pan wskazać mi jakąś dobrą książkę dot. relacji (niekoniecznie po polsku, z tego co widzę, lepiej wytłumaczone jest to w książkach po angielsku)? Znam oczywiście podstawy, ale chcę wejść "głębiej". A coś do teorii mnogości w ogólności? I czy istnieje jakaś publikacja, w której są fundamenty matematyki? Mam na myśli takie "Elementy" Euklidesa dla Logiki i Teorii mnogości, czyli od aksjomatów wyprowadzone najważniejsze, fundamentalne twierdzenia/własności/fakty/itd.

Myślę, że w przypadku teorii mnogości zaczynanie od aksjomatów to nie jest dobry pomysł, najpierw dobrze jest nabrać wprawy w naiwnej teorii mnogości (to oficjalna nazwa).

Na początek proponuję "Wykłady ze wstępu do matematyki" Guzickiego i Zbierskiego oraz mój "Wstęp do matematyki". Potem można zajrzeć do "Teorii mnogości" Błaszczyka i Turka. Jeżeli koniecznie chcesz po angielsku, to ja bardzo lubię "Discovering Modern Set Theory" Justa i Weesego. Oczywiście, jest też "Set Theory" Jecha, ale zdecydowanie odradzam na początek.

JK

stuart3 · Post autor: **stuart3** » 2 lis 2010, o 17:30

Jan Kraszewski pisze:
stuart3 pisze:Ok, a jeśli zamiast równoważności (\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Leftrightarrow a \not= b}\)) wezmę implikację (\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Rightarrow a \not= b}\))? Czy wtedy definicja będzie równoważna?
Tak (łatwo to zauważyć, stosując zasadę kontrapozycji do Twojej definicji).

stuart3 pisze:I czy może Pan wskazać mi jakąś dobrą książkę dot. relacji (niekoniecznie po polsku, z tego co widzę, lepiej wytłumaczone jest to w książkach po angielsku)? Znam oczywiście podstawy, ale chcę wejść "głębiej". A coś do teorii mnogości w ogólności? I czy istnieje jakaś publikacja, w której są fundamenty matematyki? Mam na myśli takie "Elementy" Euklidesa dla Logiki i Teorii mnogości, czyli od aksjomatów wyprowadzone najważniejsze, fundamentalne twierdzenia/własności/fakty/itd.
Myślę, że w przypadku teorii mnogości zaczynanie od aksjomatów to nie jest dobry pomysł, najpierw dobrze jest nabrać wprawy w naiwnej teorii mnogości (to oficjalna nazwa).

Na początek proponuję "Wykłady ze wstępu do matematyki" Guzickiego i Zbierskiego oraz mój "Wstęp do matematyki". Potem można zajrzeć do "Teorii mnogości" Błaszczyka i Turka. Jeżeli koniecznie chcesz po angielsku, to ja bardzo lubię "Discovering Modern Set Theory" Justa i Weesego. Oczywiście, jest też "Set Theory" Jecha, ale zdecydowanie odradzam na początek.

JK

Dziękuję za odpowiedź.

Mam jeszcze jedno pytanie: gdzie znajdę dowody związane z relacjami? Tzn. mam na myśli np. "pokaż, że złożenie relacji przechodnich/zwrotnych/symetrycznych/itp. jest/nie jest relacją przechodnią/zwrotną/symetryczną/itp." Tego typu, ew. coś z sumami/przekrojami rodzin relacji.

Niektóre są proste, ale ja np. nie wszystkie tego typu rzeczy umiem udowodnić. I nie jestem tez pewny, czy zawsze poprawnie rozumuję, szukam jakiegoś dobrego źródła, które pokaże właściwy tok myślenia i prowadzenia dowodu.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 2 lis 2010, o 17:55

stuart3 pisze:Mam jeszcze jedno pytanie: gdzie znajdę dowody związane z relacjami? Tzn. mam na myśli np. "pokaż, że złożenie relacji przechodnich/zwrotnych/symetrycznych/itp. jest/nie jest relacją przechodnią/zwrotną/symetryczną/itp." Tego typu, ew. coś z sumami/przekrojami rodzin relacji.

Tego typu dowody pojawiają się zazwyczaj jako ćwiczenia (na zrozumienie definicji) do samodzielnego zrobienia, więc nie sądzę, by w jakimś podręczniku było to specjalnie rozwijane. Trochę tego typu rozumowań jest na https://matematyka.pl, trzeba tylko trochę poszukać. W razie czego zawsze możesz napisać, to sprawdzimy.

JK

stuart3 · Post autor: **stuart3** » 2 lis 2010, o 18:32

Tak, szukałem.

Zadania z relacji mam właśnie jako zadania na ćwiczenia, robię te zadanka, ale po prostu chcę jak najwięcej zrozumieć i zobaczyć przykłady rozwiązań różnego typu zadań, których np. nie mam na ćwiczeniach. Żałuję, że nie za dużo jest publikacji, w których są jakieś dowody/przykładowe rozwiązania, bo wydaje mi się, że relacje są dosyć istotne w matematyce, tzn. są jednym z wazniejszych "narzędzi" do budowania kolejnych pojęć.

Mimo wszystko - bardzo dziękuję Panu za pomoc

Post autor: **Jan Kraszewski** » 2 lis 2010, o 19:21

stuart3 pisze:Zadania z relacji mam właśnie jako zadania na ćwiczenia, robię te zadanka, ale po prostu chcę jak najwięcej zrozumieć i zobaczyć przykłady rozwiązań różnego typu zadań, których np. nie mam na ćwiczeniach. Żałuję, że nie za dużo jest publikacji, w których są jakieś dowody/przykładowe rozwiązania, bo wydaje mi się, że relacje są dosyć istotne w matematyce, tzn. są jednym z wazniejszych "narzędzi" do budowania kolejnych pojęć.

Akurat takie zadania, o jakie pytałeś poprzednio, są dość schematyczne i w pewnym sensie wszystkie robi się tak samo - poprzez zastosowanie definicji (dlatego żadnemu autorowi nie chce się nad nimi specjalnie rozwodzić). Jeżeli chcesz bardziej wyrafinowane zadania, dotyczące relacji równoważności i porządku, to możesz zajrzeć na moją stronę:

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.uni.wroc.pl/~kraszew/

i obejrzeć dostępny tam skrypt „Zbiór zadań ze wstępu do matematyki”.

JK