Czy ktoś może mi pomóc z takimi zadaniami :/
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{x^{2}+y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}}\)
granica dwóch zmiennych
-
Misery Slave
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 28 cze 2006, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 4 razy
granica dwóch zmiennych
1)
wprowadzasz nową zmienną
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=t}\)
poszukujesz punktu do któego zmierza t:
skoro \(\displaystyle{ (x,y)\to(0,0)}\) to:
\(\displaystyle{ t\to0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{x^{2}+y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=[0/0] r:de Hospitala=\lim_{t\to0}\frac{e^t}{1}=1}\)
a drugi sposób:
korzystając z definicji Granicy Iterowanej:
jeżeli dla funkcji dwu zmiennych f(x,y) znajdziemy najpierw granicę
\(\displaystyle{ \lim_{x\to a}f(x,y)}\)
przy stałej wartosci y=const. i dla otrzymanego wyrażenia, ktore jest funkcją f(y) znajdziemy
ganicę dla y -> b to otrzymaną liczbę nazamy granicą iterowaną:
\(\displaystyle{ B=\lim_{y\to b}[\lim_{x\to a}f(x,y)]}\)
Jak zamienimy porzadek przechodzenia do granicy to otrzymamy liczbę C w ogólnym przypadku różną od B.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}\frac{e^{x^{2}+y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^{2}}-1}{x^2}=r:d'H=1}\)
druga granica jest identyczna (tzn najpierw po y potem po x)
pozdrawiam
wprowadzasz nową zmienną
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=t}\)
poszukujesz punktu do któego zmierza t:
skoro \(\displaystyle{ (x,y)\to(0,0)}\) to:
\(\displaystyle{ t\to0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{x^{2}+y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=[0/0] r:de Hospitala=\lim_{t\to0}\frac{e^t}{1}=1}\)
a drugi sposób:
korzystając z definicji Granicy Iterowanej:
jeżeli dla funkcji dwu zmiennych f(x,y) znajdziemy najpierw granicę
\(\displaystyle{ \lim_{x\to a}f(x,y)}\)
przy stałej wartosci y=const. i dla otrzymanego wyrażenia, ktore jest funkcją f(y) znajdziemy
ganicę dla y -> b to otrzymaną liczbę nazamy granicą iterowaną:
\(\displaystyle{ B=\lim_{y\to b}[\lim_{x\to a}f(x,y)]}\)
Jak zamienimy porzadek przechodzenia do granicy to otrzymamy liczbę C w ogólnym przypadku różną od B.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}\frac{e^{x^{2}+y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^{2}}-1}{x^2}=r:d'H=1}\)
druga granica jest identyczna (tzn najpierw po y potem po x)
pozdrawiam
-
Lewap
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 25 kwie 2005, o 18:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 7 razy
granica dwóch zmiennych
druga chyba nie istnieje , rozważ ciągi \(\displaystyle{ x_n=\frac1n\to 0}\) oraz \(\displaystyle{ y_n=\sqrt{\frac1n}\to 0}\), a następnie \(\displaystyle{ x_n=0\to 0}\) i \(\displaystyle{ y_n=\frac1n\to 0}\)