działania na wektorach

[kaatriiina]

Znajdź współczynniki lamego i wykaż, że układ jest ortogonalny, dla którego współrzedne krzywoliniowe \(\displaystyle{ q_{1},q_{2},q_{3}}\) są zdefiniowane:
\(\displaystyle{ x=q_{1}q_{2}cosq_{3}}\)
\(\displaystyle{ y=q_{1}q_{2}sinq_{3}}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}(q_{1}^{2}-q_{2}^{2})}\)
Wyliczyłam współczynniki, ale czy dobrze?
\(\displaystyle{ h_{1}= \sqrt{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}\)
\(\displaystyle{ h_{2}= \sqrt{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}\)
\(\displaystyle{ h_{3}= q_{1}q_{2}}\)

A jak wykazać tu ortogonalność?

[maciek_r10]

Nie wiem jak inicjatorka tego wątku, ale ja obliczałem współczynniki Lamego z kwadratu długości łuku we współrzędnych \(\displaystyle{ 0, q_{1},q_{2},q_{3}}\) (czy są jakieś inne metody?) uzyskując \(\displaystyle{ \mbox{d}l ^{2}=\left( \left( q_{1}^2+q_{2}^2\right) \cdot \mbox{d}q_{1}^2+\left( q_{1}^2+q_{2}^2\right) \cdot \mbox{d}q_{2}^2+q_{1}^2q_{2}^2 \cdot \mbox{d}q_{3}^2\right)}\).
Jak widać z powyższego kwadrat długości łuku \(\displaystyle{ \left(\mbox{d}l ^{2}\right)}\) dał się przedstawić wyłącznie jako suma przeskalowanych (przez kwadraty odpowiednich współczynników Lamego) kwadratów różniczek pojedynczych współrzędnych (co jest równoważne stwierdzeniu, że tensor metryczny w rozpatrywanym układzie współrzędnych jest tensorem diagonalnym).
Wystarczy to zauważyć by stwierdzić, że układ współrzędnych \(\displaystyle{ 0, q_{1},q_{2},q_{3}}\) JEST ortogonalny.
Współczynniki Lamego więc są obliczone poprawnie.