granica z sinusami

[Gugas]

mam do obliczenia 2 granice i nie wiem jak sobie z nimi poradzic

1. \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\sin 11x}{\sin 21x}}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\ctg x}{x-\frac{\pi}{2}}}\)

prosze o pomoc
o ile sie nie myle to trzeba rozpisac sinusa

[Lady Tilly]

O ile się nie mylę to w perwszym przypadku będzie 0,5

[Emiel Regis]

mam do obliczenia 2 granice i nie wiem jak sobie z nimi poradzic

1. \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\sin 11x}{\sin 21x}}\)

Zwyczajny delopital:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\sin 11x}{\sin 21x} = \lim_{x\to0}\frac{11xcos11x}{21xcos21x} = \frac{11}{21}}\)

[mirek]

Stosujesz wzór:
granica z (sin x)/ x = 1, dla x->0

[Gugas]

no i wlasnie nie wiem czy to wystarczy tak rozpisac jak zrobil to Drizzt czy trzeba zastosowac wzor sinx/x=1
chcac zastosowac ten wzor praktycznie stoje w miejscu bo na dole tez jest sinx :/
i co tu robic??
ktora wersja jest dobra??

[Undre]

Co tu myśleć, ja bym zrobił tak jak Drizzt, x-y sie skracają, cosinusy dążą do 1, zostaje ułamek. Chyba że de l'Hospitala nie można używać ( treści zadań bywają wredne )

[liu]

Ale po co uzywac reguly de l'Hospitala, ktorej dowod angazuje m.in. twierdzenie o wartosci sredniej, skoro mozna wyznaczyc te granice zupelnie elementarnie?

[Undre]

Jedni lubią wozy, które mało palą, drudzy te które są bezpieczne. Kwestia upodobań jak dla mnie. Personalnie bardzo lubię tę regułę

[Zlodiej]

Ale, mieszacie.

Oczywiście pierwsze i drugie idzie de l'Hospitalem. Jest tylko tak, że najładniej byłoby to rozwiązać bez stosowania jakichś tam reguł.

Ad.1

Skorzystanie z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}(\frac{\sin{x}}{x})=1}\)

Ad.2

Patrz to co wyżej, tyle, że się troche bawisz w przekształcenia:

\(\displaystyle{ \large \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{\cos{x}}{x-\frac{\pi}{2}})=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{-\sin{(x-\frac{\pi}{2})}}{x-\frac{\pi}{2}})}\)

[sushi]

\(\displaystyle{ \lim_{x 0}{\frac{\sin{ax}}{\sin{bx}}}=\lim_{x 0}{\frac{\sin{ax}}{\sin{bx}} \frac{ax}{ax} \frac{bx}{bx}}=\lim_ {x 0} { \frac{\sin{ax}}{{ax}} \frac{{bx}}{\sin{bx}} \frac{a}{b} }=\frac{a}{b}}\)


\(\displaystyle{ \lim_{x 0}{\frac{\tan{x}}{x}}=1}\)