[geometria]Zadania z figur płaskich

[prt]

Nie wiedzialem gdzie napisac ale potrzebuje pomocy, musze rozwiazac 10 zadan a kompletnie nie wiem jak sie do nich zabrac.

1. W okrąg o promieniu r wpisano kwadrat i trójkat równoboczny, mające wspólny wirzchołek. Oblicz pole części wspólnej kwadrau i tego trójkata.

2. Trapez, na ktroym mozna opisac okrag i w ktroy mozna wpisac okrac ma podstawy dlugosci a i b. Oblicz pole tego trapezu.

3. Oblicz pole rombu, w ktorym obwod wynosi 4p a suma dlugosci przekatnych 2q. (q>p).

4. Stosunek pola rombu do pola koła wpsianego w ten romb wynosi 8:pi. Oblicz miare kata ostrego ego rombu.

5. W trojkacie poprowadzono srodkowe jego bokow, ktroe podzielily ten trojkat na szesc trojkatow. Wykaz ze pola powstalych trojkatow sa rowne.

6. Przekatna trapezu rownoramiennego ma dlugosc d i tworzy z dluzsza podtawa tego trapezu kat o mierze α(Alfa). Oblicz pole tego trapezu.

7.Na okregu o promieniu r opisano trapez prsotokatny, ktroego najkrotszy bok ma dlugosc �r. Oblicz pole tego trapezu.

8. Kątp rzy podstawie trojkata rownoramiennego o obwodze 2p ma miare Alfa. Oblicz pole tego trojkata.

9. Oblicz pole trojkata, w ktorym dwie srodkowe o danych dlugosciach a i b przecinaja sie pod katem alfa.

10. Obwod trapezu rownoramiennego wynosi 116. Oblicz pole tego trapezu jesli dlugosc ramienia i podstaw trapezu sa trzema kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego oraz dlugosc odcinka laczacego srdki ramion wynosi 41.

Nie prosze o cale rozwiazania choc takie byly by najlepsze, ale prosze o pomoce, wskazowki, wspracie. Dzieki i licze na pomoc. Aha mialem wiecej zadan i kilka zrobilem wiec nie myslcie ze jestem kompletny baran:p
zmieniłam troszkę temat
Lady Tilly

[mirek]

Co do zadania 2. Z treści wynika że to trapez równoramienny (można opisać okrąg). Ponieważ można wpisać więc korzystamy z odp. twierdzenia, że sumy długości przeciwległych boków są równe. Potem kłania się pitagoras z wysokością ...

[Lady Tilly]

W trzecim zadaniu pamiętaj, że pole rombu możesz obliczyć ze wzoru:
\(\displaystyle{ P=d_{1}{\cdot}d_{2}}\) czyli jest to iloczyn przekątnych a z warunków zadania wynika, że \(\displaystyle{ d_{1}+d_{2}=2q}\) więc \(\displaystyle{ d_{2}=2q-d_{1}}\) skoro jest to romb i obwód jest równy 4p to jeden bok ma miarę p. Skorzystaj też z tego, że przekątne przecinają się w połowie oraz pod kątem prostym, więc możesz skorzystać z twierdzenia Pitagorasa tzn:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}d_{1})^{2}+(\frac{1}{2}d_{2})^{2}=p^{2}}\) dalej dasz radę

[alladyn]

co do zadania 4.
zauważ że średnicakoła (czli 2*promień) to wysokość tego rombu
(niech a bedzie bokiem rombu a r promieneim koła)
wzór na pole rombu bedzie a•2r
a na pole koła wiadowo najzwyklejszy
teraz mając juz policzone te pola musisz podzielić jedno przez drugie no i przyrównać to do 8/Pi
i co w ten sposób możesz obliczyć ??
stosunek a do r (czyli a do 2r jest łatwo z tego uzyskać)
a w tym rombie jest chyba jakis trójkąt prostokątny z bokami a , 2r ....
co do 5.
ciężko bedzie Ci zrozumieć bez rysunku ...
mamy trójkąt ABC
przy kącie C jest kąt prosty
na przeciw wierzchołkowi "A" jest bok "a" itd
środkowa wychodząca z punktu A nazywa się AA' , z punktu B BB, z C CC'
w środku jest punkt S
i tak trójkaty BSA' i CSA' mają te same pola (równe podstawy , bo wyznaczyła je środkowa) i ta sama wysokość
tak samo BSC' i ASC',CSB' i ASB' maja te same pola
pole A'SB jes 2 razy mniejsze od ASB bo podstawa jest 2 razy mniejsza(środkowe tak sie właśnie przecinają i to nie tylko w trójkącie prostokątnym) i wyskokość ta sama
trójkąt ASB składa się z dwóch mniejszych o równych powierzniach (pokazane wyżej) i z tego równania, wykazujemy że pole A'SB jest równe SC'B no iw ten sposów podobnie dla innego wierzchołka i juz po sprawie

[Misery Slave]

W zadaniu pierwszym mozesz wyznaczyć współrzędne potrzebnych Ci punktów do obliczenia pola pisząc równania prostych przechodzących przez znane punkty.
Usytuuj układ współrzędnych w środku okręgu.
Wówczas np. punkt wierzchołka trójkąta i kwadratu będzie miał współrzędne: P(0,R), potem współrzędne kolejnego wierzchołka kwadratu będą miały współrzędne P(R,0), współrzędne wierzchołków trójkata
policzysz z twierdzenia Pitagorasa (przypominam że w trójkącie równobocznym środek cieżkości trójkąta znajduje się w miejscu precięcia zarówno dwusiecznych kątów jaki i symetralnych odcinków).
Znajac zależność że wysokość trojkąta wpisanego w okrąg to H=3R/2
policzysz resztę wspólrzędnych.
Wyznaczysz równania prostych przechodzących przez te punkty.
Potem wyznaczysz punkty przecięcia tych prostych otrzymując współrzędne punktów załamań krzywej na interesujacej Cie figurze (tym małym trójkąciku miedzy bokiem kwadratu a okręgiem).
Policzysz pole tego malego trójkata ze wzoru:
\(\displaystyle{ S=\left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right]=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}[(x_1-x_2)\cdot(y_1+y_2)+(x_2-x_3)\cdot(y_2+y_3)+(x_3-x_1)\cdot(y_3+y_1)]}\)
odejmiesz dwa pola małe od pola dużego trójkąta i gotowe

[alladyn]

Zad 6
no to mamy trazpez ABCD (AB dolna dłuższa podstawa ,AD,DC Ramiona trapezu)
d przekątna no i ten kąt β (niech bedzie beta a nie alfo bo nie widze jakoś z boku tej alfy )
rysujemy wysokość CC' i wyznaczamy jej długość z trójkąta prostokątnego ACC' i wyniesie ona d•sin(β) (chyba, za oblicznia nie ręcze!!) liczymy w podobny sposób(korzystając z funkcji trygonometrycznych) odcinek AC' ,rysujemy druga wysokośc ( DD') no i mamy na dolnej podstawie zrzutowana górna podstawe i do dwa odcinki rónej długości po bokach (AD', C'D)są równe bo trapez jest rónoramienny (odpowiednie trójkąty są przystające).
Dwókrotność odcinka AC' jest sumą obu podstaw . no to masz juz wszystko co potrzebne do oblicznia pola

[Lady Tilly]

Do siódmego musisz zastosować zasadę: Czworokąt wypukły można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe.
|AB| + |CD| = |BC| + |AD|
z warunków zadania wynika, że |AD|=2r oraz \(\displaystyle{ |CD|=\frac{3}{4}r}\)
\(\displaystyle{ |AB|+\frac{3}{4}r=2r+|BC|}\)
\(\displaystyle{ |AB|-|BC|=2r-\frac{3}{4}r}\)
\(\displaystyle{ |AB|-|BC|=\frac{5}{4}}\)
\(\displaystyle{ |BC|=|AB|-\frac{5}{4}r}\)
niech \(\displaystyle{ |AB|-\frac{3}{4}r=x}\) wtedy:
z twierdzenia Pitagorasa
\(\displaystyle{ (2r)^{2}+(|AB|-\frac{3}{4}r)^{2}=(|AB|-\frac{5}{4}r)^{2}}\)
oczywiście promień rf traktujesz jako wiadomą. Dalej z tym zadaniem dasz sobie radę.
Wzór na pole wtedy będzie taki:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}(|AB|+|DC|){\cdot}|DA|}\)

[alladyn]

zadanie 8.
niech ramiona mają długość p-k, a podstawa 2k (w ten sposób już wykorzystałem info o obwodzie) rysujemy wysokość (z wierzchołka wspólnego dla równych ramion) dzieli ona nam podstawę na dwa odcinki równe k, mamy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej p-k, i bokach : h(wysokość) i k,k będzie równe \(\displaystyle{ \frac{p}{1+Cos(\alpha)}}\) a wysokość \(\displaystyle{ \frac{p}{1+Sin(\alpha)}}\)
wtedy to pole będzie równe \(\displaystyle{ \frac{p^{2}}{(1+Cos(\alpha))(1+Sin(\alpha))}}\)

[prt]

przeanalizuje wasze wypowiedzi napewno beda mi bardzo pomocne:)

[alladyn]

Zadanie 9.

AA' bo a, BB' to b
B'S to 1/3 b SB to 2/3 b (bo środkowe się tak właśnie dzielą )
i analogicznie z drugą środkową
trójkąt ABS ma pole 2/9ab•sin(alfa) (policzone ze znanego wzoru na pole trójkąta z sinusem)
pole trójkąta ASB' jest równe 1/9ab•sin(180°-alfa) co jest równe 1/9ab•sin(alfa)
czyli pole trójkąta ABB' wynosi �ab•sin(alfa)
a że pole trójkąta BB'C jest takie samo jak trójkąta ABB' ( podstawa równej długości z wspólna wysokość) to pole trójkąta ABC jest równe ab•sin(alfa)

[gaga]

Zad.10
Niech x będzie dł.ramienia tego trapeza,a y i p podstawami.
Wówczas:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}2x+y+p=116\\y+p=82\end{array}}\)
to,że y+p=82,wynika z tw.o odc.łączącym śr.ramion w trapezie.,ponadto,ponieważ boki te mają tworzyć ciąg arytmetyczny,to y=x+r,p=x+2r,wstawiasz to do powyższego układu,obliczasz x,r,więc też y i p,potem aby obliczyć wys.teo trapeza korzystasz z tw.Pitagorasa i masz pole:-)