przeciwobraz funkcji

[Fool]

Jeśli \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) i \(\displaystyle{ B \subseteq Z}\), to \(\displaystyle{ (g \circ f)(A) = g(f(A))}\) oraz \(\displaystyle{ (g \circ f) ^{-1} (B) = f^{-1}(g^{-1}(B))}\).

Piewrwsza część tezy jest dla mnie zrozumiała, drugiej niestety nie rozumiem. Jak sądzę, jest to przeciwobraz zbioru B dla f, ale nie wiem skąd się to bierze. Próbowałem rozpisywać coś z definicji przeciwobrazu, żeby do tego dojść, ale wszystko na nic.
Proszę o pomoc w zrozumieniu.

[daniello]

Jeśli chodzi Ci tylko o zrozumienie (a nie dowód), to proponuje zobaczyć to sobie na przykładzie...

choćby f = x-1, g = \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) i np. B=(0,1)

wtedy \(\displaystyle{ g o f = \sqrt{x-1}}\) itd ...

pozdr!

[Fool]

Dowodem nie pogardzę

[daniello]

niech (1) \(\displaystyle{ (g o f)^{-1} (B) =C}\)
i (2) \(\displaystyle{ f^{-1}(g^{-1}(B)) = D}\)

z (2)wynika że \(\displaystyle{ f(D) = g^{-1}(B)}\) oraz \(\displaystyle{ g(f(D))=B}\)
z (1) \(\displaystyle{ g o f (C) = B}\)

Przy założeniu różnowartościowości f i g: C=D, koniec dowodu.

[Jan Kraszewski]

Dowód w zasadzie do niczego, bo własność zachodzi zawsze, a nie tylko dla funkcji różnowartościowych.

A dowód jest bardzo prosty, z definicji przeciwobrazu. Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x\in X}\). Mamy

\(\displaystyle{ x\in f^{-1}(g^{-1}(B)) \Leftrightarrow f(x)\in g^{-1}(B) \Leftrightarrow g(f(x))\in B \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (g \circ f)(x)\in B\Leftrightarrow x\in (g \circ f) ^{-1}(B)}\)

Zatem \(\displaystyle{ f^{-1}(g^{-1}(B))=(g \circ f) ^{-1}(B)}\).

JK

[daniello]

tak właśnie się zastanawiałem, czy własnośc zachodzi zawsze ;p
mam przyjemnośc z p. Janem Kraszewskim Uni Wroc?

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK

[daniello]

miło mi
gdzie mi się równać do tak znakomitego matematyka