Obliczyć całkę\(\displaystyle{ \int{\frac{\sqrt{x*(x+1)}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}dx}\)
Wykazać, że \(\displaystyle{ \int{R(x,\sqrt{ax+b},\sqrt{cx+d})}dx}\) gdzie R jest funkcją wymierną sprowadza się do całki z funkcji wymiernej.
Z góry dzięki za pomoc.
Obliczyć calki
Obliczyć calki
\(\displaystyle{ \int{R(x,\sqrt{ax+b},\sqrt{cx+d})}dx}\), gdzie \(\displaystyle{ ad \neq bc}\).
1. Jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) są tego samego znaku:
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ (\frac{t- \frac{1}{t} }{2} )^2+1= (\frac{t+ \frac{1}{t} }{2} )^2}\)
Zatem dla podstawienia
\(\displaystyle{ \begin{cases} ax+b= \alpha (\frac{t- \frac{1}{t} }{2} )^2\\ cx+d= \beta ((\frac{t- \frac{1}{t} }{2} )^2+1)= \beta (\frac{t+ \frac{1}{t} }{2} )^2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{ \alpha }{2 a}(t- \frac{1}{t^3} ) \mbox{d}t}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są stałymi współczynnikami, które należy wyliczyć, pozbędziemy się pierwiastków i sprowadzimy naszą całkę do całki z funkcji wymiernej.
Mnożąc pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ \frac{c}{a}}\) i odejmując od niego drugie otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{bc}{a} -d=( \frac{c \alpha }{a}- \beta ) (\frac{t- \frac{1}{t} }{2} )^2- \beta}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{c \alpha }{a}- \beta =0 \\ \frac{bc}{a} -d=- \beta \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \beta = \frac{ad-bc}{a} \\ \alpha = \frac{ad-bc}{c} \end{cases}}\)
2. Jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) są przeciwnych znaków, to
\(\displaystyle{ \begin{cases} ax+b= \alpha (\frac{2t}{1+t^2} )^2\\ cx+d= \beta (1-(\frac{2t}{1+t^2} )^2)= \beta (\frac{1-t^2}{1+t^2} } )^2\end{cases}}\)
i dalej analogicznie.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha = \frac{bc-ad}{c} \\ \beta = \frac{ad-bc}{a} \end{cases}}\)
Powrót do zmiennej \(\displaystyle{ x}\), gdy już obliczymy całkę, będzie wymagał rozwiązania równania dwukwadratowego.
Całkę
\(\displaystyle{ \int{\frac{\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}dx}\)
można obliczyć tym sposobem, ale być może łatwiej innym, np.
- "Show steps" itd.
1. Jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) są tego samego znaku:
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ (\frac{t- \frac{1}{t} }{2} )^2+1= (\frac{t+ \frac{1}{t} }{2} )^2}\)
Zatem dla podstawienia
\(\displaystyle{ \begin{cases} ax+b= \alpha (\frac{t- \frac{1}{t} }{2} )^2\\ cx+d= \beta ((\frac{t- \frac{1}{t} }{2} )^2+1)= \beta (\frac{t+ \frac{1}{t} }{2} )^2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{ \alpha }{2 a}(t- \frac{1}{t^3} ) \mbox{d}t}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są stałymi współczynnikami, które należy wyliczyć, pozbędziemy się pierwiastków i sprowadzimy naszą całkę do całki z funkcji wymiernej.
Mnożąc pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ \frac{c}{a}}\) i odejmując od niego drugie otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{bc}{a} -d=( \frac{c \alpha }{a}- \beta ) (\frac{t- \frac{1}{t} }{2} )^2- \beta}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{c \alpha }{a}- \beta =0 \\ \frac{bc}{a} -d=- \beta \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \beta = \frac{ad-bc}{a} \\ \alpha = \frac{ad-bc}{c} \end{cases}}\)
2. Jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) są przeciwnych znaków, to
\(\displaystyle{ \begin{cases} ax+b= \alpha (\frac{2t}{1+t^2} )^2\\ cx+d= \beta (1-(\frac{2t}{1+t^2} )^2)= \beta (\frac{1-t^2}{1+t^2} } )^2\end{cases}}\)
i dalej analogicznie.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha = \frac{bc-ad}{c} \\ \beta = \frac{ad-bc}{a} \end{cases}}\)
Powrót do zmiennej \(\displaystyle{ x}\), gdy już obliczymy całkę, będzie wymagał rozwiązania równania dwukwadratowego.
Całkę
\(\displaystyle{ \int{\frac{\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}dx}\)
można obliczyć tym sposobem, ale być może łatwiej innym, np.
- "Show steps" itd.
Obliczyć calki
@Dasio11: Jeśli gwiazdka oznacza tu mnożenie zamiast splotu funkcji, to wydaje mi się, że jest ok.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10305
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2429 razy
Obliczyć calki
@Eloy: Nie chodzi przecież o splot funkcji... Nie wstawiłeś nawiasów. Wejdź w swój link i zobacz, jak Wolfram zinterpretował twój wzór.
Poprawny link:
... %2B1%29%29
Poprawny link:
... %2B1%29%29
Obliczyć calki
@Dasio11: U mnie, gdy klikam na Twój i mój link, wyświetla się w obu przypadkach ta sama funkcja. Dziwne, że na innym komputerze może być inaczej, ale skoro jest, to dzięki za naprawienie błędu.