Przykład na zbieżność szeregu liczbowego metodą d'Alamberta

[Piotr20]

Witam wszystkich bardzo serdecznie. Od października na 1-szym roku studiów zaczynam zmagania z analizą matematyczną . Mam wielką prośbę o sprawdzenie poniższego przykładu i ewentualne poprawienie błędów, które pewnie są .

Wzór:
\(\displaystyle{ \sum_{\infty}^{n=1} \frac{1}{3 ^{n-1} }}\)

Próbowałem tak:
\(\displaystyle{ a_{n+1} = \frac{1}{3 ^{(n+1)-1} } = \frac{1}{3 ^{n}} } \\
a_{n} = \frac{1}{3 ^{n-1}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty} | \frac{a _{n+1} }{a _{n} } | =\lim_{ n \to \infty} \frac{ \frac{1}{3 ^{n}}}{ \frac{1}{3 ^{n-1}} } =\lim_{ n \to \infty} \frac{3 ^{n-1} }{3 ^{n} } =\lim_{ n \to \infty} \frac{ \frac{3 ^{n} }{3} }{3 ^{n} } =\lim_{ n \to \infty} \frac{3 ^{n} \cdot 1}{3 \cdot 3 ^{n} } = \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} < 1}\) więc szereg jest zbieżny

Z góry dziękuję
Pozdrawiam Piotr

[Nakahed90]

Jest dobrze.