Obliczanie sumy ułamków.

[gooner92]

Witam. Mam problem z podaniem ogólnego wzoru na sumę tego ciągu ułamków:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5} + ... + \frac{n}{n+1} =}\)

Nie proszę o rozwiązanie tego problemu za mnie, chciałbym jedynie dostać jakąś wskazówkę, ponieważ moje pomysły już się wyczerpały.

[Ichiban]

Sprowadzić do wspólnego mianownika. Wspólny mianownik będzie miał postać:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot ... \cdot (n+1)}\)
Taka wskazówka na początek. Jakby trzeba było więcej to daj znać.

[gooner92]

Bardzo bym prosił o więcej. Zupełnie nie widzę twojego pomysłu.

[Ichiban]

Porzucam mój poprzedni tok rozumowania.
Teraz będzie tak:

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} \frac{i}{i+1} = \sum_{1}^{n} (\frac{i+1}{i+1} - \frac{i}{i+1}) = \sum_{1}^{n} (1 - \frac{i}{i+1}) = n - \sum_{1}^{n} \frac{1}{i+1}}\)

Wg \(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} \frac{1}{i}}\) to n-ta liczba harmoniczna.
Coś o liczbach harmonicznych jest i [url=http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html]tu[/url].

[gooner92]

No właśnie doszedłem do tego, że będzie to suma liczb harmonicznych, a więc nie sposób tego policzyć. Euler policzył sumę miliona tych liczb i wyszło mu (nie pamiętam dokładnej liczby, a nie chcę podać złej informacji) trochę ponad \(\displaystyle{ 14}\). Dzięki za pomoc!

[b7b7]

a gdyby tak zastąpić wyrażenia w licznikach postacią (n+1)-1?
rozłożymy wtedy na sumę jedynek i ułamów z licznikiem 1.... niestety moja znajomość LaTexa jest tragiczna... nie napiszę tego tu...

[gooner92]

b7b7, tak właśnie zrobiłem. Wyszło mi wtedy \(\displaystyle{ n*1-(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n+1})}\). I wtedy otrzymałem ciąg harmoniczny, z którym nie dam sobie rady.