Witam. Mam problem z podaniem ogólnego wzoru na sumę tego ciągu ułamków:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5} + ... + \frac{n}{n+1} =}\)
Nie proszę o rozwiązanie tego problemu za mnie, chciałbym jedynie dostać jakąś wskazówkę, ponieważ moje pomysły już się wyczerpały.
Obliczanie sumy ułamków.
- Ichiban
- Użytkownik
- Posty: 132
- Rejestracja: 12 wrz 2008, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 31 razy
Obliczanie sumy ułamków.
Sprowadzić do wspólnego mianownika. Wspólny mianownik będzie miał postać:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot ... \cdot (n+1)}\)
Taka wskazówka na początek. Jakby trzeba było więcej to daj znać.
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot ... \cdot (n+1)}\)
Taka wskazówka na początek. Jakby trzeba było więcej to daj znać.
- Ichiban
- Użytkownik
- Posty: 132
- Rejestracja: 12 wrz 2008, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 31 razy
Obliczanie sumy ułamków.
Porzucam mój poprzedni tok rozumowania.
Teraz będzie tak:
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} \frac{i}{i+1} = \sum_{1}^{n} (\frac{i+1}{i+1} - \frac{i}{i+1}) = \sum_{1}^{n} (1 - \frac{i}{i+1}) = n - \sum_{1}^{n} \frac{1}{i+1}}\)
Wg \(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} \frac{1}{i}}\) to n-ta liczba harmoniczna.
Coś o liczbach harmonicznych jest i [url=http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html]tu[/url].
Teraz będzie tak:
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} \frac{i}{i+1} = \sum_{1}^{n} (\frac{i+1}{i+1} - \frac{i}{i+1}) = \sum_{1}^{n} (1 - \frac{i}{i+1}) = n - \sum_{1}^{n} \frac{1}{i+1}}\)
Wg \(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} \frac{1}{i}}\) to n-ta liczba harmoniczna.
Coś o liczbach harmonicznych jest i [url=http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html]tu[/url].
Ostatnio zmieniony 11 paź 2010, o 22:31 przez Ichiban, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 10 paź 2010, o 15:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubaczów
- Podziękował: 1 raz
Obliczanie sumy ułamków.
No właśnie doszedłem do tego, że będzie to suma liczb harmonicznych, a więc nie sposób tego policzyć. Euler policzył sumę miliona tych liczb i wyszło mu (nie pamiętam dokładnej liczby, a nie chcę podać złej informacji) trochę ponad \(\displaystyle{ 14}\). Dzięki za pomoc!
- b7b7
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 3 paź 2010, o 23:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 2 razy
Obliczanie sumy ułamków.
a gdyby tak zastąpić wyrażenia w licznikach postacią (n+1)-1?
rozłożymy wtedy na sumę jedynek i ułamów z licznikiem 1.... niestety moja znajomość LaTexa jest tragiczna... nie napiszę tego tu...
rozłożymy wtedy na sumę jedynek i ułamów z licznikiem 1.... niestety moja znajomość LaTexa jest tragiczna... nie napiszę tego tu...
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 10 paź 2010, o 15:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubaczów
- Podziękował: 1 raz
Obliczanie sumy ułamków.
b7b7, tak właśnie zrobiłem. Wyszło mi wtedy \(\displaystyle{ n*1-(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n+1})}\). I wtedy otrzymałem ciąg harmoniczny, z którym nie dam sobie rady.