LXII Olimpiada Matematyczna I etap

[kubus1353]

no nie do końca miałem na myśli silnię

[michary91]

Witam
Mam pytanko odnośnie zadania 3 (dla tych co piszą TU swoje rozwiązania)
Piszecie może szkice rozwiązań czy może całość? Bo m wyszło opowiadanie na 5 stron A4, hehe

[Dumel]

pojechałeś chłopie ostro. mi 2 lata temu stereometria robiona analitycznie zajęła 4,5 strony :p

[Marcinek665]

Ja mogę zaprezentować mój dowód na wektorkach jeśli ktoś chce. Początkowo miało być na zespolonych, ale różnicy nie było żadnej, więc zdecydowałem się na rozwiązanie bardziej elementarne.

[Swistak]

Zadania 1, 2, 3 były tak proste, że raczej nie ma sensu dyskutować na temat ich rozwiązań, chyba, że ktoś ma jakieś ciekawe. Ja miałem do zad. 3 jedno rozw. "analityczne" na 2 linijki i jedno długie i skomplikowane, ale zarąbiste . Może potem je przepiszę.

[chrzanu]

Ciekway jestem tego dowodu na wektorach. Mógłbyś?

[Marcinek665]

Wkładamy nasz czworokąt do układu współrzędnych, gdzie \(\displaystyle{ E(0,0)}\) jest początkiem i punktem przecięcia przekątnych. Rozważmy prostą \(\displaystyle{ y=kx}\) oraz \(\displaystyle{ y=-kx}\), dla pewnego k i niech to będą równania prostych zawierających przekątne. Widzimy, że obydwie proste są nachylone do osi OX pod tym samym kątem, niech to będzie \(\displaystyle{ \alpha}\). Widzimy, że oś OX jest dwusieczną kąta między tymi prostymi. Dalej: skoro \(\displaystyle{ y=kx}\) i \(\displaystyle{ y=-kx}\) to proste, zawierające przekątne, to w szczególności zawierają wszystkie 4 wierzchołki naszego czworokąta. Dlatego wierzchołki będą punktami \(\displaystyle{ A(a,ka)}\), \(\displaystyle{ B(b,-kb)}\), \(\displaystyle{ C(c,kc)}\), \(\displaystyle{ D(d,-kd)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,d<0}\) oraz \(\displaystyle{ b,c>0}\). Ok, no to fajnie. Sprawdźmy teraz, jakie współrzędne maja punkty M i N. Są to środki boków AB oraz CD, więc będą to średnie arytmetyczne: \(\displaystyle{ M\left( \frac{a+b}{2}, \frac{k\left( a-b\right) }{2} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ N\left( \frac{c+d}{2}, \frac{k\left( c-d\right) }{2} \right)}\). Ok, ale czego oni od nas chcą? No, żeby udowodnić pewną równoważność, więc sprawdźmy, jakie długości mają boki AC i BD. \(\displaystyle{ |AC|=|BC| \Leftrightarrow |AC| ^{2} =|BC| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( c-a\right)^{2} + k^{2}\left( c-a\right)^{2} = \left( b-d\right)^{2} + k^{2}\left( b-d\right)^{2} \Leftrightarrow a+b=c+d}\). A kiedy jakiś odcinek jest prostopadły do OX? Ano wtedy, gdy jest równoległy do OY, a kiedy tak jest? Wtedy, kiedy współrzędne iksowe jego dwóch punktów są takie same. Więc \(\displaystyle{ MN || OY \Leftrightarrow \frac{a+b}{2} = \frac{c+d}{2} \Leftrightarrow a+b=c+d}\)

Wszystkie przejścia były równoważne, więc MN jest prostopadłe do dwusiecznej kąta pomiędzy przekątnymi wtedy i tylko wtedy, gdy przekątne te są równej długości, a tego właśnie chcieliśmy dowieść. Wektory tutaj można dać na siłę, żeby liczyć iloczyn skalarny czegoś tam, ale ostatecznie usunąłem to, bo da się bez tego.

[smigol]

Marcinek665, fajne rozwiązanie, podoba mi się. Mam nadzieję, że kiedyś też tak będę rozwalał geometrię.

[limes123]

2. \(\displaystyle{ m-n=m(mn^2+1)-n(m^2n+1)=0(mod d)=>m^3+1=m^2n+1=0(mod d)}\).
3. Bierzemy \(\displaystyle{ X}\) - srodek \(\displaystyle{ BC}\) i latwo pokazujemy, ze teza jest rownowazna:
trojkat jest rownoramienny <=> dwusieczna prostopadla do przeciwleglego boku, co jest oczywiste.

[LisuBB]

Marcinek665, mi również bardzo podoba się Twoje rozwiązanie. Możesz mi powiedzieć skąd wpadłeś na taki pomysł, żeby podejść do tego właśnie w taki sposób? Wydawać by się mogło, że zadania z OMa nie są do rozwalenia za pomocą geometrii analitycznej, a Ty pokazałeś, że się myliłem! Szacun! Mam nadzieję, że dalsze zadania (8 i 11) też rozwiążesz w ten sposób i udzielisz mi jakichś rad jak rozwiązywać zadania przy pomocy układu współrzędnych.

Ja wysłałem 3 zadania (bez kombi). Jednak widzę, że niepotrzebnie próbowałem 3 syntetycznie, jak Marcinek665 pokazał, że można było doskonale wykorzystać układ współrzędnych.

Pozdro.

[Prastaruszek]

Niektórzy tu się tak mądrzą, że jakieś rozwiązania są dłuższe, czy tam niepotrzebnie przekombinowane... Czy wy zawsze byliście tacy mądrzy? Ja wiem, że macie sporo racji, że niektóre rzeczy da się zrobić prościej, ale proszę też o odrobinę wrażliwości, żeby nie zniechęcić tych co są dopiero na początku olimpijskich doznań. Ja tam jeszcze niedawano też najprościej nie dowodziłem, sporo pałowałem (O zgrozo! Niech te czasy nie wracają!), a rok temu na OMie mi całkiem nieźle poszło (bądź co bądź, finalistą byłem i cośtam na finale zrobiłem)...

[kubus1353]

dla niektórych jest to forma dowartościowania ;P

[Big ?eb]

Ja bym wręcz powiedział, że to jest zjawisko fali. Najpierw człowiek jest mało obeznany w temacie i doznaje szoku, bo na forach widzi samych ludzi, których wiedza wydaje się być kosmiczna (dobrym przykładem są tu sytuacje na forach OI i OIG). Później nabiera doświadczenia i sam zaczyna się wymądrzać.
Dwa lata temu na stronie OI było napisane: "Do zawodów II stopnia przyjmiemy zapewne około aż 480 zawodników, więc poza tymi kilkudziesięcioma asami, którzy brylują na Forum, jest też wiele miejsca dla bardzo dobrych zawodników, z których jednym możesz być Ty."
Chciałem zaznaczyć, że moja wypowiedź nie jest personalnym atakiem na nikogo. Jednak wiem z własnego doświadczenia jak można się zdeprymować, gdy jest się początkującym, a w internecie ma się wrażenie, że wszyscy wszytko wiedzą. W sumie mój post jest raczej apelem do tych wszystkich początkujących (czyli właściwie również do mnie, bo uważam się za słabego z matematyki) - nie przerażajcie się, popracujecie, nabierzecie ogłady, to też będziecie dobrzy. I wcale wasze przechodzenie przez kolejne etapy OMa nie jest przekreślony. Skill ma to do siebie, że potrafi przychodzić równolegle.
Edit:
Apel nie jest skierowany do konkretnych osób, tylko do każdego, kto czyta to forum i czuje się przerażony swoją niewiedzą.

[smigol]

Z tym, że Marcinek665 nie jest nowym użytkownikiem forum, zadanie też robi nie od dziś (zadania z IMO nawet robi) więc coś nie za bardzo ten apel wyszedł. Chyba, że miał to być apel kompletnie adresowany do nikogo i nie związany z tą sytuacją.
Nie napisałbym tego co napisałem jeśli bym go nie znał (w sensie nie znałbym jakie zadania robił w życiu, kiedy się zetknął z zadaniami na poziomie OM).

Tak więc, powodzenia w następnych seriach.

[Big ?eb]

Jasne, że to był apel rzucony w powietrze . Może zaznaczę to jeszcze w poście. Po prostu to była dobra okazja, żeby zaakcentować ten temat.
A tak w ogóle to nie zauważyłem, żeby Marcinek665 na coś narzekał. Dlatego nie bardzo rozumiem, dlaczego przywołałeś jego osobę .