Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ f(x)=cos2x}\), \(\displaystyle{ x \in <\frac{ \pi}{2};\pi>}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} \le 2x \le \pi}\)
Stąd: \(\displaystyle{ 0 \le \pi-2x \le \frac{\pi}{2}}\) \(\displaystyle{ y=cos2x}\) \(\displaystyle{ -y=cos(\pi-2x)}\) \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}arccos(-y)}\)
A to bynajmniej nie wygląda na funkcję odwrotną do danej w odpowiednim przedziale w kalkulatorze graficznym. Nie wiem nawet z logicznego punktu widzenia co ja tu liczyłem. Z góry thx za odpowiedzi.
Skoro \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}\le x\le\pi}\), to \(\displaystyle{ \pi\le 2x\le 2\pi}\).
Funkcja kosinus co do zasady odwraca się w przedziale \(\displaystyle{ \langle 0,\pi\rangle}\), więc odwrócić w prosty sposób będzie można funkcję \(\displaystyle{ y=\cos(2x-\pi)}\).
Mamy jednak \(\displaystyle{ \cos(2x-\pi)=\cos[-(\pi-2x)]=\cos(\pi-2x)=-\cos 2x=-f(x)}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)=-\cos(2x-\pi)}\). Stąd \(\displaystyle{ z=-\cos(2x-\pi)\implies -z=\cos(2x-\pi)\implies 2x-\pi=\arccos(-z)\implies x=\frac{1}{2}[\arccos(-z)+\pi]}\).
Funkcja odwrotna określona jest zatem wzorem \(\displaystyle{ f^{-1}(z)=\frac{1}{2}[\arccos(-z)+\pi]}\) dla \(\displaystyle{ z\in\langle -1,1\rangle}\).
