Trójkat i okręgi

pokemon08 · Post autor: **pokemon08** » 28 wrz 2010, o 20:37

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań:
1. W okrąg wpisano trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ ABC}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha =120^{\circ}}\) jest kątem przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\), zaś \(\displaystyle{ \left| AC\right| =\left| BC\right|=5}\). Oblicz promień tego okręgu.
2. Oblicz pole i obwód koła wpisanego i opisanego na trójkącie o bokach: \(\displaystyle{ 6,10,14}\).
3. Sprawdź, czy trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoboczny. Oblicz pole trójkąta i długość promienia \(\displaystyle{ r}\) okręgu wpisanego w ten trójkąt oraz długość promienia \(\displaystyle{ R}\) okręgu opisanego na tym trójkącie, jeżeli \(\displaystyle{ A=\left( 1,0\right), B=\left( 0, \sqrt{3} \right), C=\left( -1,0\right)}\).
4. Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) wpisany jest w okrąg o środku \(\displaystyle{ O}\). Znajdź miarę kąta \(\displaystyle{ AOB}\), jeśli:
a) kąty są równe odpowiednio\(\displaystyle{ \angle BAC=80 ^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \angle AOC=140 ^{\circ}}\)
b) kąty \(\displaystyle{ \angle ABC=50 ^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \left| AB\right| = \left| BC\right|}\)
c) kąty są równe odpowiednio \(\displaystyle{ \angle BAO=60 ^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \angle BOC=130 ^{\circ}}\)
5. Trójkąt T ma boki długości \(\displaystyle{ 14, 48, 50}\). K jest kołem opisanym na trójkącie T. Oblicz pole i obwód figury K T.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 28 wrz 2010, o 21:56

2. Pole z Herona.
(r) - z pola (jest taki wzór)
(R) - z pola (jest taki wzór).

MaciejR · Post autor: **MaciejR** » 28 wrz 2010, o 22:07

1. \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) - oznaczmy sobie jako x. Boki AC i BC, które są dane po prostu 5.
z twierdzenia cosinusów dla trojkąta ABC mamy:
\(\displaystyle{ x^{2}= 5^{2} + 5^{2} - 2\cdot 5 \cdot 5\cdot cos120^\circ}\)
z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ x=5 \sqrt{3}}\).
Dalej obliczysz pole jako \(\displaystyle{ \frac{5\cdot 5\cdot sin120^\circ}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{(25\sqrt{3})}{4}}\).
Podstawiasz do wzoru z polem trójkąta zależnym od promienia okręgu opisanego na trójkącie i wychodzi, że \(\displaystyle{ R=5}\).
3. Musisz sobie to orientacyjnie narysować, i zw wzoru na długość odcinka idziesz. Potem masz dwa wzory, które powinieneś znać - czyli \(\displaystyle{ P=rp}\) i \(\displaystyle{ P = \frac{abc}{4R}}\).
4.
a. Kąty wpisane i środkowy. podpowiem, że \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC = \frac{1}{2} \sphericalangle BOC}\), a \(\displaystyle{ \sphericalangle ABC = \frac{1}{2} \sphericalangle AOC}\). Resztę znajdziesz.
b. Podobna zasada. Wykorzystaj fakt, że trójkąt ABC jest równoramienny. Czyli kąty przy wierzchołkach A i C mają po 65 stopni.
c. OAC ma miarę 5 stopni (\(\displaystyle{ \sphericalangle BAC=\frac{1}{2} \sphericalangle BOC}\)). \(\displaystyle{ \sphericalangle OAB= \sphericalangle ABO= \sphericalangle BOA}\) (mowa o kątach oczywiście)...

pokemon08 · Post autor: **pokemon08** » 29 wrz 2010, o 15:49

Ad. 2
pole wyszło 675
\(\displaystyle{ r=45}\)
\(\displaystyle{ R= \frac{1}{90}}\)

Ad. 3
Z moich obliczeń wynika, że boki \(\displaystyle{ a = 2, b = 2, c = \sqrt{7}}\), więc jest równoramienny. Czy dobrze? Jak postąpić dalej?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 wrz 2010, o 17:47

2. Pokaż obliczenia - bo nie może być R < r.

pokemon08 · Post autor: **pokemon08** » 29 wrz 2010, o 18:07

2. Ze wzoru Herona: \(\displaystyle{ P= \sqrt{15(15-6)(15-10)(15-14)}}\) i wychodzi 675.

\(\displaystyle{ r= \frac{2P}{30} = 45}\)

\(\displaystyle{ R= \frac{30}{2700} = \frac{1}{90}}\)

Ad. 4
a) \(\displaystyle{ \angle AOB = 40 ^{\circ}}\)
b) \(\displaystyle{ \angle AOB = 130 ^{\circ}}\)
c) \(\displaystyle{ \angle AOB = 60 ^{\circ}}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 wrz 2010, o 18:17

pokemon08 pisze:2. Ze wzoru Herona: \(\displaystyle{ P= \sqrt{15(15-6)(15-10)(15-14)}}\) i wychodzi 675.

Pole masz stanowczo za duże.

pokemon08 · Post autor: **pokemon08** » 29 wrz 2010, o 18:25

No tak bo jeszcze \(\displaystyle{ \sqrt{675} \approx 25,98}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 wrz 2010, o 18:28

Nie przybliżaj - nie było na to pozwolenia w treści.

pokemon08 · Post autor: **pokemon08** » 29 wrz 2010, o 19:02

A pozostałe zadania dobrze?-- 29 wrz 2010, o 19:02 --Wychodzi \(\displaystyle{ r= \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ R= \frac{ \sqrt{3} }{6}}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 wrz 2010, o 22:18

Znowu masz \(\displaystyle{ r>R}\), tak nie moze być.

pokemon08 · Post autor: **pokemon08** » 30 wrz 2010, o 17:47

Pole wyszło \(\displaystyle{ 5 \sqrt{27}}\)

\(\displaystyle{ r= \frac{2P}{30} = \frac{10 \sqrt{27} }{30} = \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ R= \frac{30}{20 \sqrt{27} } = \frac{ \sqrt{3} }{6}}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 30 wrz 2010, o 18:11

pokemon08 pisze:\(\displaystyle{ R= \frac{30}{20 \sqrt{27} } = \frac{ \sqrt{3} }{6}}\)

Nie wiem skad to masz, bo wzór to :

\(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}}\)

pokemon08 · Post autor: **pokemon08** » 30 wrz 2010, o 18:53

tak miałem złe wzór

wyszło: \(\displaystyle{ \frac{14 \sqrt{3} }{3}}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 30 wrz 2010, o 18:54

No i teraz masz tak jak trzeba \(\displaystyle{ R>r}\).