[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010
No to jak rok temu wrzucę zadania, które osobiście uważam za ciekawe oraz te, których nikt nie zrobił w grupie "ubernajstarszej"/starszych drużynach na drużynówkę i mecz. (To, że nikt nie zrobił zadania determinuje to, że trafia do hardkorów, a z pozostałych wybrałem zadania, które uważam za ciekawsze.)
Zadania ciekawe:
1. Niech \(\displaystyle{ p_{n}(k)}\) oznacza liczbę permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego o \(\displaystyle{ k}\) punktach stałych.
Udowodnij: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_{n}(k)=n!}\)
2. (Sylwek) Udowodnij, że istnieje liczba Fibonacciego, która kończy się na \(\displaystyle{ 2010}\) zer.
3. (Sylwek) Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie liczbą całkowitą i niech \(\displaystyle{ n=3^{2^{k}}-2^{2^{k}}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ n\mid 3^{n-1}-2^{n-1}}\).
4. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\) całkowitych istnieje funkcja z całkowitych dodatnich w całkowite spełniająca warunki:
\(\displaystyle{ f(1995)=1996 \\ f(xy)=f(x)+f(y)+kf(gcd(x, y)).}\)
(od Swistaka: Dla każdego \(\displaystyle{ k}\) znaleźć wszystkie takie funkcje. Może to być trochę trefne zadanie, bo nie sprawdziłem, czy rzeczywiście jest to robialne, ale chyba mniej więcej wiem jak to zrobić xp.)
5. W tablicy \(\displaystyle{ n \times n}\) wypełnionej liczbami, wszystkie wiersze są różne (dwa wiersza są różne, jeśli różnią się na co najmniej jednej pozycji). Udowodnij, że istnieje kolumna, taka, że po jej usunięciu, wiersze w powstałej tablicy będą różne.
6. W sali geograficznej siedzi \(\displaystyle{ 30}\) uczniów na ustalonych miejscach. W czasie jednych zajęć dowolna para uczniów może zamienić się miejscami, jednak jeden uczeń nie może zmienić miejsca więcej niż raz w trakcie jednych zajęć. Czy po dwóch zajęciach uczniowie mogą usiąść w dowolny zadany z góry sposób?
7. Joasia i Onufry grają w następującą grę. Na tablicy są napisane liczby od 1 do 1000. Ruch polega na wymazaniu liczby, która nie jest dzielnikiem żadnej z wymazanych dotąd liczb. Przegrywa ten, kto nie może wykonać ruchu. Joasia zaczyna. Kto ma strategię wygrywającą?
Hardkory:
1. W sześcianie o krawędzi \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ 8}\) punktów. Udowodnij, że pewne dwa z nich leżą w odległości nie większej niż \(\displaystyle{ 1}\).
2. Czy istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n>1}\) spełniająca następujący warunek: zbiór wszystkich liczb dodatnich całkowitych można podzielić na \(\displaystyle{ n}\) niepustych podzbiorów takich, że dowolna suma \(\displaystyle{ n-1}\) liczb naturalnych, po jednej z każdego z \(\displaystyle{ n-1}\) podzbiorów, leży w pozostałym podzbiorze.
(To zadanie w istotnej części zrobiłem na zawodach, jednak potem okazało się, że moje rozwiązanie zawiera spore luki, które później udało mi się uzupełnić, ale mimo wszystko nie można powiedzieć, abym je zrobił na zawodach, zatem trafia do tego spisu )
3. Dwusieczne kątów wewnętrznych \(\displaystyle{ A, B, C}\) trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają okrąg na nim opisany odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D, E, F.}\) Punkty \(\displaystyle{ D', E', F'}\) są symetryczne do punktów \(\displaystyle{ D, E, F}\) odpowiednio względem prostych \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\). Wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przecinaja się w punkcie \(\displaystyle{ H}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ D', E', F', H}\) leżą na jednym okręgu.
4. Niech \(\displaystyle{ A_{1}, ..., A_{n}}\) będą punktami na okręgu jednostkowym o. Dla każdego \(\displaystyle{ P \in o}\) iloczyn \(\displaystyle{ PA_{1} \cdot ... \cdot PA_{n}}\) jest mniejszy bądź równy 2. Wykazać, że A_{1}, ..., A_{n} są wierzchołkami n-kąta foremnego.
5. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\), jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych spełnia warunek \(\displaystyle{ 0 \le W(i) \le k}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le i \le k+1}\), to \(\displaystyle{ W(0)=W(1)=...=W(k)}\).
Na indywidualnych było jeszcze jedno zadanie, którego nikt nie zrobił, ale było ono w istotnej części podobne do zadania 10 z aktualnego I etapu OM'a, więc go nie zamieszczę oraz na meczu było 1 zadanie, którego nie zrobiła żadna z dwóch drużyn, jednak o ironio było to zadanie nr 7 z Pierwszego Meczu Matematycznego tegorocznego Zwardonia, którego ja i Wąs nie zrobiliśmy, bo gdy było prezentowanie zadań, to ja i Wąs wyjechaliśmy do Warszawy, więc nie musieliśmy się uczyć rozwiązań, a Ania nie pamięta zadań, które robiła poprzedniego dnia xp.
Zadania ciekawe:
1. Niech \(\displaystyle{ p_{n}(k)}\) oznacza liczbę permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego o \(\displaystyle{ k}\) punktach stałych.
Udowodnij: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_{n}(k)=n!}\)
2. (Sylwek) Udowodnij, że istnieje liczba Fibonacciego, która kończy się na \(\displaystyle{ 2010}\) zer.
3. (Sylwek) Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie liczbą całkowitą i niech \(\displaystyle{ n=3^{2^{k}}-2^{2^{k}}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ n\mid 3^{n-1}-2^{n-1}}\).
4. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\) całkowitych istnieje funkcja z całkowitych dodatnich w całkowite spełniająca warunki:
\(\displaystyle{ f(1995)=1996 \\ f(xy)=f(x)+f(y)+kf(gcd(x, y)).}\)
(od Swistaka: Dla każdego \(\displaystyle{ k}\) znaleźć wszystkie takie funkcje. Może to być trochę trefne zadanie, bo nie sprawdziłem, czy rzeczywiście jest to robialne, ale chyba mniej więcej wiem jak to zrobić xp.)
5. W tablicy \(\displaystyle{ n \times n}\) wypełnionej liczbami, wszystkie wiersze są różne (dwa wiersza są różne, jeśli różnią się na co najmniej jednej pozycji). Udowodnij, że istnieje kolumna, taka, że po jej usunięciu, wiersze w powstałej tablicy będą różne.
6. W sali geograficznej siedzi \(\displaystyle{ 30}\) uczniów na ustalonych miejscach. W czasie jednych zajęć dowolna para uczniów może zamienić się miejscami, jednak jeden uczeń nie może zmienić miejsca więcej niż raz w trakcie jednych zajęć. Czy po dwóch zajęciach uczniowie mogą usiąść w dowolny zadany z góry sposób?
7. Joasia i Onufry grają w następującą grę. Na tablicy są napisane liczby od 1 do 1000. Ruch polega na wymazaniu liczby, która nie jest dzielnikiem żadnej z wymazanych dotąd liczb. Przegrywa ten, kto nie może wykonać ruchu. Joasia zaczyna. Kto ma strategię wygrywającą?
Hardkory:
1. W sześcianie o krawędzi \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ 8}\) punktów. Udowodnij, że pewne dwa z nich leżą w odległości nie większej niż \(\displaystyle{ 1}\).
2. Czy istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n>1}\) spełniająca następujący warunek: zbiór wszystkich liczb dodatnich całkowitych można podzielić na \(\displaystyle{ n}\) niepustych podzbiorów takich, że dowolna suma \(\displaystyle{ n-1}\) liczb naturalnych, po jednej z każdego z \(\displaystyle{ n-1}\) podzbiorów, leży w pozostałym podzbiorze.
(To zadanie w istotnej części zrobiłem na zawodach, jednak potem okazało się, że moje rozwiązanie zawiera spore luki, które później udało mi się uzupełnić, ale mimo wszystko nie można powiedzieć, abym je zrobił na zawodach, zatem trafia do tego spisu )
3. Dwusieczne kątów wewnętrznych \(\displaystyle{ A, B, C}\) trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają okrąg na nim opisany odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D, E, F.}\) Punkty \(\displaystyle{ D', E', F'}\) są symetryczne do punktów \(\displaystyle{ D, E, F}\) odpowiednio względem prostych \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\). Wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przecinaja się w punkcie \(\displaystyle{ H}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ D', E', F', H}\) leżą na jednym okręgu.
4. Niech \(\displaystyle{ A_{1}, ..., A_{n}}\) będą punktami na okręgu jednostkowym o. Dla każdego \(\displaystyle{ P \in o}\) iloczyn \(\displaystyle{ PA_{1} \cdot ... \cdot PA_{n}}\) jest mniejszy bądź równy 2. Wykazać, że A_{1}, ..., A_{n} są wierzchołkami n-kąta foremnego.
5. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\), jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych spełnia warunek \(\displaystyle{ 0 \le W(i) \le k}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le i \le k+1}\), to \(\displaystyle{ W(0)=W(1)=...=W(k)}\).
Na indywidualnych było jeszcze jedno zadanie, którego nikt nie zrobił, ale było ono w istotnej części podobne do zadania 10 z aktualnego I etapu OM'a, więc go nie zamieszczę oraz na meczu było 1 zadanie, którego nie zrobiła żadna z dwóch drużyn, jednak o ironio było to zadanie nr 7 z Pierwszego Meczu Matematycznego tegorocznego Zwardonia, którego ja i Wąs nie zrobiliśmy, bo gdy było prezentowanie zadań, to ja i Wąs wyjechaliśmy do Warszawy, więc nie musieliśmy się uczyć rozwiązań, a Ania nie pamięta zadań, które robiła poprzedniego dnia xp.
Ostatnio zmieniony 31 mar 2021, o 15:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010
ciekawe II:
ciekawe III:
ciekawe IV (piszę rzymskimi, bo w przeciwnym przypadku reklamy nie pozwalają tego rozwinąć):
-
- Użytkownik
- Posty: 2000
- Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 202 razy
[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010
jeszcze raz ciekawe nr 1:
poprawka do piątego:
co do robialności Swistakowego dodatku do zad. 4: -- 30 września 2010, 14:00 --pytanie do hardkora nr 5: \(\displaystyle{ i}\) przebiega liczby naturalne czy wszystkie rzeczywiste z tego przedzialu? właściwie wychodzi na to ze rzeczywiste ale mysle ze moze sie pomyliles bo gdyby tak mialo byc to pewnie byś użył zmiennej \(\displaystyle{ x}\) a nie \(\displaystyle{ i}\)
Ukryta treść:
Ukryta treść:
Ukryta treść:
- Mama Jerza
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 25 wrz 2010, o 20:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Jerzanora k. Rzeszowa
- Pomógł: 4 razy
- Mama Jerza
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 25 wrz 2010, o 20:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Jerzanora k. Rzeszowa
- Pomógł: 4 razy
[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010
Był nieco niegrzeczny, więc nie pozwoliłam mu. Ale troszkę pomógł przy tym:smigol pisze:Mama Jerza fajne rozwiązanie, Teodor Ci pomagał?
zad 1 harde:
Mama
Ostatnio zmieniony 30 wrz 2010, o 19:36 przez Mama Jerza, łącznie zmieniany 1 raz.
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010
Na zawodach było napisane, że rzeczywiste, ale autorom chodziło o naturalne xD. Możecie zrobić w obu wersjach .Dumel pisze:
-- 30 września 2010, 14:00 --
pytanie do hardkora nr 5: \(\displaystyle{ i}\) przebiega liczby naturalne czy wszystkie rzeczywiste z tego przedzialu? właściwie wychodzi na to ze rzeczywiste ale mysle ze moze sie pomyliles bo gdyby tak mialo byc to pewnie byś użył zmiennej \(\displaystyle{ x}\) a nie \(\displaystyle{ i}\)
- Mama Jerza
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 25 wrz 2010, o 20:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Jerzanora k. Rzeszowa
- Pomógł: 4 razy
[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010
Harde (?)5
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 1 paź 2010, o 09:32 przez Mama Jerza, łącznie zmieniany 1 raz.
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010
Poza tym naprawdę zachęcam do niespałowania zadania "ciekawe I" xp.
-- 30 września 2010, 18:39 --
Jerzu mówi, że dyrektorka jego gimnazjum przypisuje sobie jego zasługi, ale tak naprawdę wychodzi, że to jego mama go poprowadziła do jego sukcesów!-- 30 września 2010, 19:40 --Co za chłam, nie mogę edytować swojego pierwszego postu... -_-
-- 30 września 2010, 18:39 --
Jerzu mówi, że dyrektorka jego gimnazjum przypisuje sobie jego zasługi, ale tak naprawdę wychodzi, że to jego mama go poprowadziła do jego sukcesów!-- 30 września 2010, 19:40 --Co za chłam, nie mogę edytować swojego pierwszego postu... -_-