Zastosowanie twierdzenia Greena

[reksio2]

Mam takie zadanie, napisałem rozwiązanie, ale podobno jest źle, tylko ja nie widzę gdzie... Może ktoś zobaczyć i powiedzieć coś na ten temat?

Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int_{\gamma} \frac{-x}{x^2+y^2}dx+ \frac{y}{x^2+y^2}dy}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) jest dolną połową okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) przebiega od punktu \(\displaystyle{ (0,1)}\) do punktu \(\displaystyle{ (-1,0)}\).

Rysunek:



\(\displaystyle{ \gamma}\) - krzywa skierowana ujemnie
\(\displaystyle{ D}\) - obszar normalny
\(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial Q}{ \partial x}=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y}}\) - określone i ciągłe
\(\displaystyle{ \frac{ \partial Q}{ \partial x}}\) - określone i ciągłe

Zatem z Tw. Greena (oczywiście minus przed całka, bo skierowana ujemnie)
\(\displaystyle{ -\int_{\gamma} \frac{-x}{x^2+y^2}dx+ \frac{y}{x^2+y^2}dy=
-\int\int_{D}(\frac{ \partial Q}{ \partial x}-\frac{ \partial P}{ \partial y})dxdy=-\int\int_{D}(\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2})dxdy=-\int\int_{D}\frac{-4xy}{(x^2+y^2)^2}dxdy}\)

Wprowadzam współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x=r cos(t)}\), \(\displaystyle{ r=[0,1]}\)
\(\displaystyle{ y=r sin(t)}\), \(\displaystyle{ t=[0, \Pi]}\)
\(\displaystyle{ dxdy=rdrdt}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\int_{0}^{\Pi}\frac{4r cos(t) r sin(t)}{(r^2 (cos^2(t)+sin^2(t)))^2}rdtdr=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\Pi}\frac{4r^3 cos(t) sin(t)}{r^4}dtdr=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\Pi}\frac{4}{r}cos(t) sin(t)dtdr=\int_{0}^{1}\frac{4}{r}(\frac{1}{2}sin(t)^2 |_{0}^{\Pi})dr=0}\)

[shvedeq]

błąd polega na tym,że \(\displaystyle{ \gamma}\) jest dolną połową okręgu> Tw. Greena bedzie można zastosować jeśli do całki po \(\displaystyle{ \gamma}\) dodasz całkę po średnicy ogręgu.

[luka52]

shvedeq, też nie bardzo da radę, bowiem funkcja podcałkowa nie jest określona w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\)

[reksio2]

Czyli nie można zastosować tutaj twierdzenia Greena?

[luka52]

Oczywiście, że można. Trzeba tylko tak dobrać kontur całkowania by założenia tw. Greena były spełnione.

[reksio2]

W takim razie w jaki sposób go dobrać, skoro w zadaniu jest określone, że tak ma wyglądać?

[luka52]

By skorzystać z tw. Greena należałoby dobrać dowolny kontur taki, by punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) znajdował się poza nim.

[reksio2]

Czyli np górną część okręgu i wtedy całkuje po całym okręgu, dobrze rozumie?

[luka52]

Ups, widocznie zapomniałem napisać, że punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie może leżeć wewnątrz konturu...

[reksio2]

No to ja nie wiem jak.

[luka52]

Najlepiej w ogóle nie korzystać tu z tw. Greena.

[reksio2]

Czyli tak?

\(\displaystyle{ \gamma(t)=(t, \sqrt{1-t^2})}\)
\(\displaystyle{ \gamma'(t)=(1, \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}})}\)

\(\displaystyle{ -\int_{\gamma} \frac{-x}{x^2+y^2}dx+ \frac{y}{x^2+y^2}dy=-\int\omega(\gamma(t))(\gamma'(t))dt}\)

\(\displaystyle{ \omega(\gamma(t))(\gamma'(t))=\omega(t, \sqrt{1-t^2})\circ(1, \frac{1}{2\sqrt{1-t^2}})=(\frac{-t}{t^2+(\sqrt{1-t^2})^2}, \frac{\sqrt{1-t^2}}{t^2+(\sqrt{1-t^2})^2})\circ(1, \frac{1}{2\sqrt{1-t^2}})=(\frac{-t}{t^2+1-t^2}, \frac{\sqrt{1-t^2}}{t^2+1-t^2})\circ(1, \frac{1}{2\sqrt{1-t^2}})=(-t, \sqrt{1-t^2})\circ(1, \frac{1}{2\sqrt{1-t^2}})=-t+\frac{1}{2}}\)

Zatem całka

\(\displaystyle{ -\int_{1}^{-1}-t+\frac{1}{2} dt=-(-\frac{t^2}{2}|_{1}^{-1}+\frac{t}{2}|_{1}^{-1})=-(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=-(-1)=1}\)

[luka52]

Nie, \(\displaystyle{ \gamma(t)= \left(t, - \sqrt{1-t^2} \right), \; t\in [0,1]}\).

[reksio2]

Dlaczego tak?

[luka52]

Bo zdaje się, że chodzi o dolny półokrąg, czyż nie?