Działanie na ułamkach zwykłych

[brookpetit]

Ile równa jest wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{99} -\frac{1}{100}}\)

Chodzi mi bardziej, żebym zrozumiał sposób rozwiązywania tego typu zadań niż o sam wynik
Z góry dziękuję za pomoc.

[Konikov]

Czy nie powinno być tak:

\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{99} -\frac{1}{100}}\)

(brakujący minus)?

\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{99} -\frac{1}{100} = \sum_{k=1}^{50} \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k}=\\\\
\sum_{k=1}^{50} \frac{1}{2k - 1} - \sum_{k=1}^{50}\frac{1}{2k}=\\\\
\sum_{k=1}^{50} \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{50}\frac{1}{k}=\\\\
\sum_{k=1}^{50} \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2}H_{50}}\)

Teraz spójrzmy - suma na początku jest sumą nieparzystych \(\displaystyle{ k}\) w \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\). Stąd wystarczy wziąć sumę wszystkich (\(\displaystyle{ H_{100}}\)) i odjąć parzyste (a parzyste obliczyliśmy i równają się \(\displaystyle{ \frac{1}{2}H_{50}}\)). Stąd wynik jest taki:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{50} \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2}H_{50} =\\\\
H_{100} - \frac{1}{2}H_{50} - \frac{1}{2}H_{50} = H_{100} - H_{50}}\)

Voila!

[anna_]

On ma 15 lat, wątpię, żeby coś z tego zrozumiał.

[Konikov]

Jeśli masz fajniejszy sposób, to napisz ;] Próbowałem grupować wyrazy itp. (w tym wieku tak się robi), ale bezskutecznie.

-- 26 września 2010, 22:51 --

Zakładając, że nie było błędu w treści, to odpowiedź jest taka:

\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{99} -\frac{1}{100} = H_{100} - \frac{51}{100}}\)

Gdzie:
\(\displaystyle{ H_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}}\)
(nie da się mniej skomplikowanie zapisać niż \(\displaystyle{ H_n}\))

[anna_]

post779489.htm

[Konikov]

Nie przypuszczałem, że rozwiązanie z "..." wchodzi w rachubę ;>

[brookpetit]

Bardzo was przepraszam, ale musiał mi się palec omsknąć ma być "-" jak ktoś słusznie zauważył:
\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{99} -\frac{1}{100}}\)

A jako wynik należy podać uproszczoną postać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{51} + \frac{1}{52} +...+ \frac{1}{99} + \frac{1}{100}}\)
Ma ktoś teraz jakiś pomysł?

[Konikov]

Bardzo was przepraszam, ale musiał mi się palec omsknąć ma być "-" jak ktoś słusznie zauważył:
\(\displaystyle{ 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{99} -\frac{1}{100}}\)

A jako wynik należy podać uproszczoną postać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{51} + \frac{1}{52} +...+ \frac{1}{99} + \frac{1}{100}}\)
Ma ktoś teraz jakiś pomysł?

Odpowiedź:

https://matematyka.pl/post779489.htm

;]

[brookpetit]

Dzięki, właśnie skończyłem to czytać, bo zobaczyłem tego posta jeszcze przed twoją odpowiedzią. Już rozumiem, bardzo dziękuję.