Zadanie z matematyki WFiIS AGH
\(\displaystyle{ 2y'cos x = y sin x - y^3}\)
==Rozwiązanie==
Zakładam:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y \ne 0 \\ \cos x \ne 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ y' - {1 \over 2} \frac{\sin x}{\cos x} y = -\frac{1}{2\cos x} y^{3}\\ \\
\frac{y'}{y^{-3}} - {1 \over 2} \tan x \ \frac{y}{y^{-3}} = - \frac{1}{2 \cos x} \\ \\
\frac{y'}{y^{-3}} - {1 \over 2} \tan x \ y^{-2} = - \frac{1}{2 \cos x} \\ \\}\)
Dokonuję podstawienia:
\(\displaystyle{ z = y^{1-n}}\)
gdzie jak dla nas
\(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ z = y^{-2} \\
z' = -2y^{-3}y' \\
y' = \frac{-z'}{2y^{-3}}}\)
Po wykonaniu podstawienia i dokonaniu uproszczeń otrzymuję równanie różniczkowe liniowe niejednorodne:
\(\displaystyle{ z' + z\tan x = \frac{1}{\cos x}}\)
Rozwiązuję równanie liniowe:
\(\displaystyle{ \frac{dz}{dx} + z\tan x = 0}\)
Rozdzielam zmienne:
\(\displaystyle{ \int\frac{dz}{z} = -\int \tan x dx}\)
Całkuję:
\(\displaystyle{ \ln z =\ln|\cos x| + \ln|C|}\)
Jak teraz zapisać moduły? Zostawmy już właściwości logarytmu w spokoju, ale wg mnie:
\(\displaystyle{ z = \pm C\cos x}\)
Co na to reszta forum?
Wcale też nie byłbym obrażony, gdyby ktoś podpowiedział jakąś postać całki szczególnej RN, bo sam nie mam na to pomysłu.
Równanie różniczkowe Bernoulliego
-
gott314
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 38 razy
Równanie różniczkowe Bernoulliego
Możesz zapisać nową stałą i "wciągnąć plus i minus" do niej, tzn. teraz maszmachacz pisze:Jak teraz zapisać moduły? Zostawmy już właściwości logarytmu w spokoju, ale wg mnie:
\(\displaystyle{ z = \pm C\cos x}\)
\(\displaystyle{ z = \pm C\cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \setminus \{0\}}\),
a dalej będzisz miał
\(\displaystyle{ z =C_1\cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1\in\mathbb{R} \setminus \{0\}}\).
Tego się nie da zrobić metodą przewidywań. Zastuj metodę uzmienniania stałej.machacz pisze:Wcale też nie byłbym obrażony, gdyby ktoś podpowiedział jakąś postać całki szczególnej RN, bo sam nie mam na to pomysłu.
-
machacz
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 3 wrz 2009, o 12:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
Równanie różniczkowe Bernoulliego
Całkuję:
\(\displaystyle{ \ln z =-\ln|\cos x| - \ln|C^*|\\
\ln z =-\ln|C^*\cos x| \\
\ln z =\ln|C\cos^{-1} x| \\
z = \frac{C}{\cos x}}\)
Stosuję metodę uzmienniania stałej:
\(\displaystyle{ z = \frac{C(x)}{\cos x} \\
z' = \frac{C'(x)}{\cos x} + C(x) \frac{\sin x}{\cos^2x}}\)
Po podstawieniu do równania niejednorodnego:
\(\displaystyle{ C'\frac{1}{\cos x} + C \frac{sin x}{\cos^2 x} + C\frac{\sin x}{\cos x} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos x}}\)
No i coś się nie chce zredukować... Gdzie jest błąd? Szukałem w pochodnej, ale tam jest dobrze, a z żadnego innego miejsca nie wyjdzie inny znak przy C i C'.
\(\displaystyle{ \ln z =-\ln|\cos x| - \ln|C^*|\\
\ln z =-\ln|C^*\cos x| \\
\ln z =\ln|C\cos^{-1} x| \\
z = \frac{C}{\cos x}}\)
Stosuję metodę uzmienniania stałej:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\cos x}\right) ' = - \frac{1}{\cos^2x} \cdot (-\sin x)}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{C(x)}{\cos x} \\
z' = \frac{C'(x)}{\cos x} + C(x) \frac{\sin x}{\cos^2x}}\)
Po podstawieniu do równania niejednorodnego:
\(\displaystyle{ C'\frac{1}{\cos x} + C \frac{sin x}{\cos^2 x} + C\frac{\sin x}{\cos x} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos x}}\)
No i coś się nie chce zredukować... Gdzie jest błąd? Szukałem w pochodnej, ale tam jest dobrze, a z żadnego innego miejsca nie wyjdzie inny znak przy C i C'.
-
gott314
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 38 razy
Równanie różniczkowe Bernoulliego
Źle scałowałeś. W pierwszym poście miałeś dobrze. Dlaczego zmieniłeś?machacz pisze:Całkuję:
\(\displaystyle{ \ln z =-\ln|\cos x| - \ln|C^*|\\\ln z =-\ln|C^*\cos x| \\\ln z =\ln|C\cos^{-1} x| \\z = \frac{C}{\cos x}}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{dz}{z} = -\int \tan x dx}\)
\(\displaystyle{ \ln |z| =\ln|\cos x| + \ln|C_1|}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\)
\(\displaystyle{ \ln |z| =\ln|C_1 \cdot\cos x|}\)
\(\displaystyle{ |z| =|C_1| \cdot |\cos x|}\)
\(\displaystyle{ z=\pm C_1 \cdot \cos x}\)
\(\displaystyle{ z= C \cdot \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\)
Stosując metodę uzmienniania stałej.
\(\displaystyle{ z=C(x)\cdot \cos x}\)
\(\displaystyle{ z'=C' \cos x-C \sin x}\)
\(\displaystyle{ C' \cos x-C \sin x+C\cos x \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}}\)
\(\displaystyle{ C' \cos x=\frac{1}{\cos x}}\)
Dalej już sobie dasz radę.
-
machacz
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 3 wrz 2009, o 12:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
Równanie różniczkowe Bernoulliego
ychy, sprawdziłem na wikipedii. Faktycznie,
\(\displaystyle{ \int \tg x dx = - \ln |x| + C}\)
Dziękuję serdecznie za pomoc.
\(\displaystyle{ \int \tg x dx = - \ln |x| + C}\)
Dziękuję serdecznie za pomoc.
-
machacz
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 3 wrz 2009, o 12:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
Równanie różniczkowe Bernoulliego
no chyba 
. jeszcze raz całe rozwiązanie, żeby nie trzeba było latać wzrokiem po postach:
Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ 2y'cos x = y sin x - y^3}\)
==Rozwiązanie==
===Doprowadzenie do innej postaci===
Zakładam:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y \ne 0 \\ \cos x \ne 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ y' - {1 \over 2} \frac{\sin x}{\cos x} y = -\frac{1}{2\cos x} y^{3}\\ \\
\frac{y'}{y^{-3}} - {1 \over 2} \tan x \ \frac{y}{y^{-3}} = - \frac{1}{2 \cos x} \\ \\
\frac{y'}{y^{-3}} - {1 \over 2} \tan x \ y^{-2} = - \frac{1}{2 \cos x} \\ \\}\)
===Podstawienie ===
Dokonuję podstawienia:
\(\displaystyle{ z = y^{1-n}}\)
gdzie jak dla nas
\(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ z = y^{-2} \\
z' = -2y^{-3}y' \\
y' = \frac{-z'}{2y^{-3}}}\)
===Równanie niejednorodne i jednorodne. Rozdzielenie zmiennych ===
Po wykonaniu podstawienia i dokonaniu uproszczeń otrzymuję równanie różniczkowe liniowe niejednorodne:
\(\displaystyle{ z' + z\tan x = \frac{1}{\cos x}}\)
Rozwiązuję równanie liniowe:
\(\displaystyle{ \frac{dz}{dx} + z\tan x = 0}\)
Rozdzielam zmienne:
\(\displaystyle{ \int\frac{dz}{z} = -\int \tan x dx}\)
Całkuję:
\(\displaystyle{ \ln |z| =\ln|\cos x| + \ln|C_1|}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\)
\(\displaystyle{ \ln |z| =\ln|C_1 \cdot\cos x|}\)
\(\displaystyle{ |z| =|C_1| \cdot |\cos x|}\)
\(\displaystyle{ z=\pm C_1 \cdot \cos x}\)
===CORJ===
\(\displaystyle{ z= C \cdot \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\) - '''CORJ'''
===Uzmiennienie stałej===
Stosując metodę uzmienniania stałej.
\(\displaystyle{ z=C(x)\cdot \cos x}\)
\(\displaystyle{ z'=C' \cos x-C \sin x}\)
\(\displaystyle{ C' \cos x-C \sin x+C\cos x \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}}\)
\(\displaystyle{ C' \cos x=\frac{1}{\cos x}}\)
\(\displaystyle{ C' =\frac{1}{\cos^2 x}}\)
Pamiętamy czego pochodną jest \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2 x}}\):
===CSRN===
\(\displaystyle{ C =\tan x}\) - '''CSRN'''
===CORN===
Zatem mamy:
\(\displaystyle{ z= C \cdot \cos x + \tan x}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\) - '''CORJ'''
===Całki banalne===
Natychmiast widzimy że całką banalną jest:
\(\displaystyle{ y=0}\)
Ponieważ założyliśmy \(\displaystyle{ \cos x \ne 0}\), zatem \(\displaystyle{ x \ne \frac{\pi}{2} + 2k\pi}\), to sprawdzamy, co się dzieje, kiedy jednak \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi}\):
\(\displaystyle{ 2y' \cdot 0 = y - y^3}\)
\(\displaystyle{ y = y^3}\)
Dostajemy, że dla \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi}\) całkami są proste \(\displaystyle{ y=1}\) lub \(\displaystyle{ y=-1}\) lub \(\displaystyle{ y=-1}\)
. jeszcze raz całe rozwiązanie, żeby nie trzeba było latać wzrokiem po postach:Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ 2y'cos x = y sin x - y^3}\)
==Rozwiązanie==
===Doprowadzenie do innej postaci===
Zakładam:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y \ne 0 \\ \cos x \ne 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ y' - {1 \over 2} \frac{\sin x}{\cos x} y = -\frac{1}{2\cos x} y^{3}\\ \\
\frac{y'}{y^{-3}} - {1 \over 2} \tan x \ \frac{y}{y^{-3}} = - \frac{1}{2 \cos x} \\ \\
\frac{y'}{y^{-3}} - {1 \over 2} \tan x \ y^{-2} = - \frac{1}{2 \cos x} \\ \\}\)
===Podstawienie ===
Dokonuję podstawienia:
\(\displaystyle{ z = y^{1-n}}\)
gdzie jak dla nas
\(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ z = y^{-2} \\
z' = -2y^{-3}y' \\
y' = \frac{-z'}{2y^{-3}}}\)
===Równanie niejednorodne i jednorodne. Rozdzielenie zmiennych ===
Po wykonaniu podstawienia i dokonaniu uproszczeń otrzymuję równanie różniczkowe liniowe niejednorodne:
\(\displaystyle{ z' + z\tan x = \frac{1}{\cos x}}\)
Rozwiązuję równanie liniowe:
\(\displaystyle{ \frac{dz}{dx} + z\tan x = 0}\)
Rozdzielam zmienne:
\(\displaystyle{ \int\frac{dz}{z} = -\int \tan x dx}\)
Całkuję:
\(\displaystyle{ \ln |z| =\ln|\cos x| + \ln|C_1|}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\)
\(\displaystyle{ \ln |z| =\ln|C_1 \cdot\cos x|}\)
\(\displaystyle{ |z| =|C_1| \cdot |\cos x|}\)
\(\displaystyle{ z=\pm C_1 \cdot \cos x}\)
===CORJ===
\(\displaystyle{ z= C \cdot \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\) - '''CORJ'''
===Uzmiennienie stałej===
Stosując metodę uzmienniania stałej.
\(\displaystyle{ z=C(x)\cdot \cos x}\)
\(\displaystyle{ z'=C' \cos x-C \sin x}\)
\(\displaystyle{ C' \cos x-C \sin x+C\cos x \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}}\)
\(\displaystyle{ C' \cos x=\frac{1}{\cos x}}\)
\(\displaystyle{ C' =\frac{1}{\cos^2 x}}\)
Pamiętamy czego pochodną jest \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2 x}}\):
===CSRN===
\(\displaystyle{ C =\tan x}\) - '''CSRN'''
===CORN===
Zatem mamy:
\(\displaystyle{ z= C \cdot \cos x + \tan x}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\) - '''CORJ'''
===Całki banalne===
Natychmiast widzimy że całką banalną jest:
\(\displaystyle{ y=0}\)
Ponieważ założyliśmy \(\displaystyle{ \cos x \ne 0}\), zatem \(\displaystyle{ x \ne \frac{\pi}{2} + 2k\pi}\), to sprawdzamy, co się dzieje, kiedy jednak \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi}\):
\(\displaystyle{ 2y' \cdot 0 = y - y^3}\)
\(\displaystyle{ y = y^3}\)
Dostajemy, że dla \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi}\) całkami są proste \(\displaystyle{ y=1}\) lub \(\displaystyle{ y=-1}\) lub \(\displaystyle{ y=-1}\)
-
gott314
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 38 razy
Równanie różniczkowe Bernoulliego
Całką ogólną równania liniowego niejednorodnego \(\displaystyle{ z' + z\tan x = \frac{1}{\cos x}}\) będzie
\(\displaystyle{ z=\sin x+D\cdot \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ D\in\mathbb{R}}\), a nie \(\displaystyle{ z= C \cdot \cos x + \tan x}\).
W równaniu \(\displaystyle{ z=C(x)\cdot \cos x}\) podstawiasz za "C(x)" \(\displaystyle{ \tg x +D}\) (\(\displaystyle{ D}\) to stała), a nie sumujesz ze sobą \(\displaystyle{ \tg x}\) i \(\displaystyle{ C\cdot\cos x}\).
\(\displaystyle{ z=\sin x+D\cdot \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ D\in\mathbb{R}}\), a nie \(\displaystyle{ z= C \cdot \cos x + \tan x}\).
W równaniu \(\displaystyle{ z=C(x)\cdot \cos x}\) podstawiasz za "C(x)" \(\displaystyle{ \tg x +D}\) (\(\displaystyle{ D}\) to stała), a nie sumujesz ze sobą \(\displaystyle{ \tg x}\) i \(\displaystyle{ C\cdot\cos x}\).