kule w szufladach

[zabka1807]

Hej! Pomóżcie mi rozwiązać to zadanko:
Dziesięć kul rozmieszczamy w dziesięciu szufladach. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że każda szuflada będzie zajęta?
Jak dla mnie to jest zdarzenie pewne-10 kul i 10 szuflad, a każda ma być zajęta, ale w książce mam odpowiedź 0,00036288.

[ariadna]

\(\displaystyle{ P=\frac{10!}{10^{10}}=0,00036288}\)

[zabka1807]

Z twoich obliczeń powinno wyjść o jedno zero więcej po przecinku, czyli 0,000036288, a to już inny wynik. Znalazłam podpowiedź w książce, że to powinno się liczyć tak:
\(\displaystyle{ \frac{9!}{10 000 000 000}}\)
tylko nie wiem skąd to 9 się wzięło i czemu moc zdarzenia losowego wynosi \(\displaystyle{ 10^{9}}\)

[issA]

ja to policzylam na kalkulatorz ei wyszlo mi tak samo jak ariadnie... wiec zrobione to jest dobrze policz to jeszcze raz... wynik ariadny jest prawidlowy

[loonatic]

A ja was zaskoczę ;P. Oba wyniki są prawidłowe, bo:
\(\displaystyle{ \frac{10!}{10^{10}} = \frac{9! 10}{10 10^{9}} = \frac{9!}{10^{9}}}\)
Drugi był podany w książce, bo to jest jego ostateczna postać. Nic tu się nie skróci tak, aby można to było zapisać prościej.

Pozwolę sobie jeszcze podać link do strony z rozwiązaniem tego zadania:
... yczne.html
Chodzi o odpowiedź użytkownika Daniel_P (przedostatnia na stronie).
I zacytuję na wszelki wypadek (gdyby w/w strona zniknęła z internetu):

"Dla każdej kuli losujesz szufladę - trzeba rozmieścić 10 kul w 10 szufladach". Dla pierwszej losujesz jedną szufladę z 10 (bo wszystkie są wolne), więc prawdopodobieństwo, że trafisz pustą wynosi
10/10 = 1
Jeśli chcesz wylosować szuflade dla drugiej kuli, to zostaje Ci tylko 9 pustych szuflad, więc prawdopodobieństwo wynosi
9/10
I tak dalej dla wszstkich szuflad.
A - zdarzenie - każda kula trafi do innej szuflady
P(A) = (10/10) * (9/10) * (8/10) * (7/10) * (6/10) * (5/10) * (4/10) * (3/10) * (2/10) * (1/10) = (9!)/(10^9) (znaczy 10 do 9)
Ja bym nie radził tego zliczać

Jeżeli ten sposób jest mało zrozumiały to można cosik jeszcze popróbować w taki sposób:
Jak w inny sposób zapisać przypisanie 10 kulom 10 szuflad? Ano na przykład w postaci ciągów 10-cio wyrazowych. Np.:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) - oznacza, że wszystkie kule trafiły do pierwszej szuflady.
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1) - oznacza, że wszystkie kule, poza ósmą, trafiły do pierwszej szuflady. Ósma jest w szóstej szufladzie.
Itp.
Moc omegi wynosi więc
10^10 (bo warjacja z powtórzeniami)
Jeżeli każda kula trafia do innej szuflady, to w ciągu cyfry nie będą się nam powtarzać. Moc takich zbiorów wynosi:
10! (bo warjacja bez powtórzeń)
A - zdarzenie - każda kula trafi do innej szuflady
P(A) = 10! / 10^10 = (10*9!) / (10*10^9) = 9! / 10^9

Temat odkopałem, gdyż właśnie szukałem rozwiązania dokładnie tego zadania. Nie znalazłem go na forum, więc poszukałem w innych źródłach.
Znalazłem, więc postanowiłem zaprezentować tutaj w celau edukacji potomnych, którzy też będą musieli je rozwiązać. Mam nadzieję, że się im przyda .

[punk_koper]

Ale zadanie rozwiązane jest tak jakby kule były rozróżnialne (mylę się?), a w zadaniu nie jest to powiedziane. Ma ktoś pomysł jak je rozwiązać jeśli byśmy przyjęli że kule są nierozróżnialne?

[Steeve]

Dokładnie. Ponawiam Pytanie kolegi wyżej. Z zadania wynika że kule są rozróżnialne. Zmienia to całkowicie tryb obliczania zadania.

gdybyśmy mieli to obliczyć uwzględniając to że kule są nierozróżnialne, zakładam że trzeba by było zastosować kombinacje z powtórzeniami.

Książkowy przykład zakłada że kule są rozróżnialne. Czyż nie?

Proszę o sugestie na temat mojej wypowiedzi.
Pozdrawiam.

[Crizz]

Jak dla mnie, to z zadania w ogóle nie wynika to, czy kule są rozróżnialne, czy nie. Jeśli Wam się nie podoba, że w zadaniu kule są nierozróżnialne, to zacznijcie rozwiązanie tak: "numeruję sobie kule od 1 do 10" i już macie rozróżnialne W druga stronę: "na początek zanurzam wszystkie kule w czarnej farbie...".

Mówię poważnie, po prostu jeśli założymy, że kule są rozróżnialne, to zarówno przestrzeń zdarzeń elementarnych, jak i zdarzenie sprzyjające mają większą moc (niż w przypadku, gdyby te elementy były nierozróżnialne). Gdy jednak rozwiążemy zadanie w wersji "rozróżnialnej" i znajdziemy moce tych zbiorów, a potem powiemy: "No dobrze, ale kule miały jednak być nierozróżnialne, więc teraz zakładam, że tak jest - w takim razie to, to i to zdarzenie ze zbioru zdarzeń sprzyjających jest dla mnie jednakowe oraz to , to i to zdarzenie z przestrzeni też" itd., to ze zbioru zdarzeń sprzyjających "wypadnie" nam tyle samo razy zdarzeń, co z przestrzeni wszystkich zdarzeń. Iloraz mocy tych zbiorów nie zmieni się.

To, czy dane obiekty są rozróżnialne, czy nie, prawie nigdy nie będzie mieć znaczenia. Znaczenie ma to, czy losujemy ze zwracaniem, czy bez. Spróbujcie to sobie przemyśleć.

[Steeve]

Iloraz mocy tych zbiorów nie zmieni się.

Uważam że iloraz mocy tych zbiorów zmieni się.

Analizując przykład z zastosowaniem że kule są nierozróżnialne, na obliczenie Przestrzeni zdarzeń elementarnych("moc omegi") przyjąłem Kombinacje z powtórzeniami. I tak samo postąpiłem w przypadku obliczania Zdarzeń sprzyjających (tylko że tym razem wziąłem pod uwagę Kombinacje bez powtórzeń, ponieważ każda szuflada ma być zajęta).

Podsumowując:

Prawdopodobieństwo wyszło mi: \(\displaystyle{ \frac{1}{92378}}\)

Z tego wynika że Iloraz tych zbiorów zmienił się.

Proszę o ustosunkowanie się do mojej wypowiedzi.