Zbieżnosc szeregu

[actraz]

Mam do zbadania taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1}^{ \infty } \frac{\sin n \alpha }{ \left( \ln 10\right)^{n} }}\)
Wyrazy tego szeregu przyjmuja wartosci dodatnie i ujemne, ale nie na przemian.
\(\displaystyle{ -1 \le \sin n \alpha \le 1 \\
3 < \ln 10 < 4}\)
Warunek konieczny zbieznosci:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } u_{n}=0}\) - licznik przyjmuje wartosci od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\), a mianownik dazy do \(\displaystyle{ \infty}\)
Badam:
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1}^{ \infty } \left| \frac{\sin n \alpha }{ \ln 10^{n} }\right| \\
0 \le \left| \sin n \alpha \right| \le 1}\)
Z kryterium Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[n]{\left| \sin n \alpha \right| } }{ \ln 10} <1}\) - licznik dązy do 1, a mianownik: \(\displaystyle{ 3 < \ln 10 < 4}\) - szacuje
Wiec badany szereg jest zbiezny na podstawie kryterium Cauchy'ego, a zatem szereg dany na poczatku jest bezwzglednie zbiezny.

Prosze o skomentowanie poprawnosci rozwiazania. Mi osobiscie sie nie podoba, bo takie szacowanie miejscami(czy tak mozna?) jednak innego rozwiazania narazie nie znalazlem. Moze jakis lepszy zapis?

[Konikov]

Po krótkim spojrzeniu stwierdzam, że szereg jest jak najbardziej zbieżny. Licznik krąży wokół zera z promieniem 1, a mianownik szybko rośnie. Cały ułamek silnie dąży do zera w nieskończoności.

Samych Twoich rachunków nie sprawdzałem ;], jednakże myślę, że jest tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\sin n \alpha }{ \left( \ln 10\right)^{n} } = 0}\)

jako że funkcja może być szacowana mniej/więcej tak:

\(\displaystyle{ O\left(\frac{1}{a^n}\right)}\)

Nie wiem jak Twoje kryterium Cauchy'ego, gdyż granica nie istnieje (\(\displaystyle{ \sin n}\) daje co pewien czas jedynkę, a \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1} = 1}\)), dla bardzo dużych \(\displaystyle{ n}\) będzie ciąg (prawie) zer i punktami z \(\displaystyle{ \frac{1}{\log 10}}\)).

Może lepiej z kryterium porównawczego:

\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin n \alpha }{ \left( \ln 10\right)^{n} } \right| < \frac{2}{3^n}}\)

gdzie prawa strona jest bezwzględnie zbieżna.

[actraz]

Ok, dzięki bardzo!