Ciąg rekurencyjny

[miodek1]

Niech \(\displaystyle{ (u_n)}\) taki że
\(\displaystyle{ u_1=a, a \in R}\) oraz \(\displaystyle{ u_{n+1}=\frac{1}{2}ln(1+u_n^2)-1}\)
Pokaż że \(\displaystyle{ u_n}\) jest zbieżny i oblicz jego granicę

[pipol]

Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}\ln (1+x^2) -1}\), \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\)
Wówczas \(\displaystyle{ |f'(x)|=\frac{|x|}{1+x^2} \le \frac{1}{2}}\)
Zatem korzystając z tw. lagrangea o wartości sredniej mamy
\(\displaystyle{ |f(x)-f(y)| \le \frac{1}{2} |x-y|}\) wynika stąd, że \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem zwężającym przestrzeni metrycznej zupełnej \(\displaystyle{ (\mathbb{R} ,|\cdot |)}\) w siebie. Korzystając z tw. Banacha o kontrakcji dostajemy, że ciąg okreslony rekurencyjnie \(\displaystyle{ x_1 =a, x_{n+1} =f(x_n)}\) jest zbieżny do tej samej granicy dla dowolnego \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\) i granicą tą jest jedyny punkt stały funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}\ln (1+x^2) -1}\).