znaleźć n dla którego przybliżenie ma precyzję 0,001 (Taylor

[cocco]

Hej! Oto moje zadanie:

Znajdź n, dla którego przybliżenie dla ln(2) wzorem Taylora ma precyzję 0,001.

Prosiłabym o jakieś wskazówki, wytłumaczenie problemu (:

[shvedeq]

weźmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=ln(1+x)}\) i rozwińmy ją w szereg Taylora:
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k + R_{n+1}(x)}\)
Resztę weźmiemy w postaci Lagrange'a i będziemy ją szacować z góry:
\(\displaystyle{ \left| R_{n+1}(x) \right|_{x=1}=\left| \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)! }x^{n+1} \right|_{x=1} = \left| \frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)(1+ \theta x)}} \cdot x^n \right|_{x=1} \le \frac{1}{n+1} 1^n=\frac{1}{n+1} =10^{-3}}\)
stąd dostajemy:
\(\displaystyle{ n=999}\)

[cocco]

dlaczego w szereg rozwijamy funkcję ln(1+x)?

[shvedeq]

bo chciałem rozwinąć \(\displaystyle{ \ln x}\) wokół zera, ale pochodne w tym punkcie uciekają do \(\displaystyle{ \infty}\). To jest standardowy myk w tego typu funkcjach.

[Majeskas]

bo chciałem rozwinąć \(\displaystyle{ \ln x}\) wokół zera, ale pochodne w tym punkcie uciekają do \(\displaystyle{ \infty}\). To jest standardowy myk w tego typu funkcjach.

Nic dziwnego, skoro funkcji \(\displaystyle{ \ln x}\) nie ma w \(\displaystyle{ 0}\).