Monotoniczność i ekstremum

madzia89 · Post autor: **madzia89** » 20 wrz 2010, o 17:38

Wyznacz monotoniczność i ekstremum funkcji

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{-4x}{x^2+1}}\)

math questions · Post autor: **math questions** » 20 wrz 2010, o 17:42

wczym masz problem

madzia89 · Post autor: **madzia89** » 20 wrz 2010, o 17:44

w rozwiązaniu tego zadania

math questions · Post autor: **math questions** » 20 wrz 2010, o 17:45

policz pierwszą pochodną i miejscza zerowe pochodnej tak na początek

madzia89 · Post autor: **madzia89** » 20 wrz 2010, o 17:47

ale jak ktos nie wie jak to ruszyc nawet to jak mam to rozwiązać. Gdybym cokolwiek umiala bym tu napisała ale ja nie wiem jak to rozwiązać

math questions · Post autor: **math questions** » 20 wrz 2010, o 17:49

no to co ty robisz w czasie lekcji na matmie??

madzia89 · Post autor: **madzia89** » 20 wrz 2010, o 17:55

mieliśmy tylko jeden wykład z tego i faceta nie obchodzi to że nie umiemy tego a teraz na niecałe 60osób ponad 40 ma poprawkę

math questions · Post autor: **math questions** » 20 wrz 2010, o 17:57

oki to ci pomogę krok po kroku

madzia89 · Post autor: **madzia89** » 20 wrz 2010, o 17:59

dzięki wielkie

math questions · Post autor: **math questions** » 20 wrz 2010, o 18:18

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{-4x}{x^2+1}; x \in R}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{(-4x)' \cdot (x ^{2}+1)-(x ^{2}+1)' \cdot (-4x) }{(x ^{2}+1) ^{2} } = \frac{-4\cdot (x ^{2}+1)-2x\cdot (-4x)}{(x ^{2}+1) ^{2} }= \frac{-4x ^{2} -4+8x ^{2} }{(x ^{2}+1) ^{2} } = \frac{4x ^{2}-4 }{(x ^{2}+1) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= 0 \Rightarrow \frac{4x ^{2}-4 }{(x ^{2}+1) ^{2} }=0/ \cdot (x ^{2}+1) ^{2} \\ 4x ^{2}-4=0/:4 \\ x ^{2}-1=0 \\ (x-1)(x+1)=0\\ x=1 \vee x=-1}\)
\(\displaystyle{ x=1 \vee x=-1}\) - w tych punktach mogą być extrema

teraz wystarczy tylko narysować funkcję \(\displaystyle{ x ^{2}-1}\) czyli parabolkę której miejscami zerowymi są punkty \(\displaystyle{ x=-1}\) i \(\displaystyle{ x=1}\) z ramionami do góry
i zauwżysz że w punkcie \(\displaystyle{ x=-1}\)funkcja zmienia znak z (+) na (-) czyli w tym punkcie jest max. a w punkcie \(\displaystyle{ x=1}\) funkcja zmienia znak z (-) na (+) czyli w tym punkcie jest min.

wystarczy zbadać znak funkcji \(\displaystyle{ x ^{2}-1}\) tam gdzie \(\displaystyle{ x ^{2}-1>0}\)to nasza funkcja f(x) jest rosnąca \(\displaystyle{ x ^{2}-1<0}\) to funkcja f(x) jest malejąca (p.s. nie biorę pod uwagę mianownika fochodnej bo nie wpływa onna zmianę znaku ponieważ jest dodatni dla \(\displaystyle{ x \in R}\))

f(x) rosnie w przedziale \(\displaystyle{ x \in (- \infty ;-1) \cup (1;+ \infty )}\)
f(x) maleje w przedziale \(\displaystyle{ x \in (-1;1)}\)