Pierścienie wielomianów

[lukasz_650]

Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie ciałem. Udowodnić, że pierścienie \(\displaystyle{ P[x_1]}\) i \(\displaystyle{ P[x_1, x_2]}\) (będące odpowiednio pierścieniami wielomianów jednej i dwóch zmiennych o współczynnikach z ciała \(\displaystyle{ P}\)) nie są izomorficzne.

[max]

Standardowy argument - w tym pierwszym każdy ideał jest generowany przez 1 element, a w tym drugim nie.

[lukasz_650]

Dzięki i jeszcze jedno ...

Podać przykład takiego niezerowego pierścienia przemiennego z jedynką \(\displaystyle{ P}\), że pierścień \(\displaystyle{ P[x_1]}\) jest izomorficzny z pierścieniem \(\displaystyle{ P[x_1, x_2]}\).


EDIT. Znalazłem przykład, więc temat nieaktualny, ale gdyby kogoś zainteresowało, to przykładem takiego pierścienia \(\displaystyle{ P}\) jest dowolny pierścień wielomianów nieskończonej liczby zmiennej nad dowolnym niezerowym pierścieniem. Wtedy pierścień \(\displaystyle{ P}\) jest izomorficzny z \(\displaystyle{ P[x_0]}\) (jako izomorfizm wystarczy przyjąć przekształcenie, które zmniejsza indeks każdej zmiennej \(\displaystyle{ x_i}\) o jeden, czyli zmienia \(\displaystyle{ x_i}\) w \(\displaystyle{ x_{i-1}}\)), a stąd już łatwo widać izomorfizm pierścieni z treści zadania.

[max]

Aha, to też dość standardowy przykład.
Natomiast z cyklu ciekawostki przyrodnicze nt pierścieni wielomianów - podobno można pokazać, że istnieją pierścienie przemienne z jedynką \(\displaystyle{ P,R}\) takie, że \(\displaystyle{ P, R}\) nie są izomorficzne, a \(\displaystyle{ P[x]\cong R[x]}\). Chętnie zobaczyłbym jakiś przykład który jestem w stanie zrozumieć (chociaż pewnie najszybciej będzie jak się douczę, żeby zrozumieć te co widziałem).

[lukasz_650]

Mi niestety ciężko będzie pomóc, bo dopiero kilka dni temu zacząłem przygodę z algebrą - podobnie jak Arst - jeszcze przed studiami postanowiłem zacząć się dokształcać

[Arst]

I to dokształcanie algebraiczne nie jest niestety tak przyjemne jak dokształcanie w analizie matematycznej :/

[lukasz_650]

Mi osobiście się bardzo podoba z resztą nie zupełnie naukę algebry rozpocząłem od zera, bo zawsze interesowałem się teorią liczb, a tam natrafiłem na wiele dowodów, które wykorzystywały pojęcia i twierdzenia algebry, więc na bieżąco uczyłem się tego, co mi było potrzebne (ale nie było tego dużo).-- 19 września 2010, 13:25 --Off-Topic nawiązał się w sposób naturalny i nie przekroczył trzech wiadomości, więc chyba jest wszystko w porządku

Ponieważ kolejny problem, na który natrafiłem, jest związany również z pierścieniami wielomianów, więc dorzucę tutaj:

Czy dla dowolnego niezerowego pierścienia przemiennego z jedynką \(\displaystyle{ P}\) pierścień wielomianów \(\displaystyle{ P[x]}\) o współczynnikach z pierścienia \(\displaystyle{ P}\) nie jest izomorficzny z pierścieniem wielomianów o współczynnikach z \(\displaystyle{ P}\), spełniających dodatkowy warunek, że współczynnik przy pierwszej potędze zmiennej (\(\displaystyle{ x}\)) jest zerowy?

Oto wnioski, do jakich doszedłem.
Każdy wielomian pierścienia \(\displaystyle{ P[x]}\) można zapisać jednoznacznie w postaci \(\displaystyle{ P(x) = Q(x) \cdot x + a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in P}\), \(\displaystyle{ Q(x) \in P[x]}\). Zatem, gdyby \(\displaystyle{ \varphi}\) było szukanym izomorfizmem, to mielibyśmy:

\(\displaystyle{ \varphi(P(x)) = \varphi(Q(x) \cdot x + a) = \varphi(Q(x)) \cdot \varphi(x) + \varphi(a)}\).

W takim razie, każdy element pierścienia wielomianów o zerowym współczynniku przy \(\displaystyle{ x}\), da się przedstawić w powyższej postaci (i to w sposób jednoznaczny). Rozważając teraz wielomian postaci \(\displaystyle{ x^2 \cdot \varphi(x) + e}\), gdzie \(\displaystyle{ e \in P}\), który także musi być powyższej postaci, dostajemy:

\(\displaystyle{ x^2 \cdot \varphi(x) + e = \varphi(Q(x)) \cdot \varphi(x) + \varphi(a)}\),
\(\displaystyle{ \varphi(a) = (x^2 - \varphi(Q(x))) * \varphi(x) + e}\),

czyli dla każdego \(\displaystyle{ e \in P}\), istnieje takie \(\displaystyle{ a \in P}\), że \(\displaystyle{ \varphi(a) = A(x) * \varphi(x) + e}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ A(x)}\).

Dodatkowo \(\displaystyle{ a}\) jest wyznaczone jednoznacznie, bo inaczej \(\displaystyle{ x^2 \cdot \varphi(x) + e}\) dałoby się przedstawić niejednoznacznie w postaci \(\displaystyle{ \varphi(Q(x)) \cdot \varphi(x) + \varphi(a)}\).

To z kolei oznacza, że wszystkie \(\displaystyle{ \varphi(a)}\) są postaci \(\displaystyle{ A(x) \cdot \varphi(x) + e}\), czyli każdy element pierścienia wielomianów o zerowym współczynniku przy \(\displaystyle{ x}\) daje się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ R(x) * \varphi(x) + e}\) i to w sposób jednoznaczny (gdyby nie było jednoznaczności, to szybko dochodzimy do sprzeczności).


Stąd już łatwo widać dowód w przypadku, gdy \(\displaystyle{ P}\) jest dziedziną całkowitości, bowiem gdyby \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) było stopnia drugiego, to z tej postaci nie otrzymamy chociażby żadnego wielomianu stopnia trzeciego (gdyż jesteśmy w pierścieniu wielomianów o zerowym współczynniku przy pierwszej potędze zmiennej). Gdyby był co najmniej trzeciego, to nie dostalibyśmy żadnego wielomianu stopnia drugiego, a gdyby był stopnia zerowego - to wielomian \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) nie byłby zapisany w tej postaci jednoznacznie.

Niestety nie wiem, jak zabrać się za dowód dla dowolnego pierścienia \(\displaystyle{ P}\) i czy w ogóle wówczas teza zachodzi.

[Wasilewski]

Z tego, co napisałeś (o ile się nie mylę) wynika, że \(\displaystyle{ R(x)}\) ma zerowy współczynnik przy x, zatem i tak nijak nie uzyskasz w ten sposób wielomianu \(\displaystyle{ x^{3}}\), na przykład.

[lukasz_650]

Jeżeli np. \(\displaystyle{ \varphi(x) = x^3}\), to otrzymam (wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ R(x) = 1}\) i \(\displaystyle{ e = 0}\)). Wtedy jednak nie otrzymam na przykład wielomianu \(\displaystyle{ x^2}\).

Ogólnie, jeżeli \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) jest niestałym wielomianem o współczynniku przy najwyższej potędze nie będącej dzielnikiem zera, to albo nie uzyskam wielomianu \(\displaystyle{ x^2}\) albo \(\displaystyle{ x^3}\).

Jednak, co gdy ten współczynnik jest dzielnikiem zera? Wówczas mnożąc przez odpowiednie wielomiany być może zredukują się współczynniki przy prawie wszystkich potęgach zmiennej. I tu pojawia się pytanie, czy w ogóle w przypadku takiego izomorfizmu może ten współczynnik być dzielnikiem zera? Jeśli tak, to czy wówczas każdy wielomian będzie przedstawiony jednoznacznie i czy w ogóle każdy wielomian da się przestawić w danej postaci?

A być może da się podejść do tego zadania w inny sposób?

[Wasilewski]

No faktycznie, coś mi się pomyliło.

[xiikzodz]

Można za pomocą stopnia:

\(\displaystyle{ d:P+x^2P[x]\to\mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ d(t)=\deg(\varphi(t))}\),

gdzie \(\displaystyle{ \varphi:P+x^2P[x]\to P[x]}\) jest izomorfizmem, którego istnienie zakładamy dla dowodu nie wprost.

[max]

Jeśli na ten problem popatrzeć pamiętając o poprzednim zadaniu, to nietrudno znaleźć kontrprzykład:
Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie pierścieniem przemiennym z jedynką różną od zera. Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie podpierścieniem pierścienia wielomianów nieskończenie wielu zmiennych \(\displaystyle{ t_{1},w_{1},t_{2},w_{2},t_{3},w_{3},\ldots}\) nad \(\displaystyle{ R}\), utworzonym przez wszystkie wielomiany o zerowych współczynnikach przy jednomianach, w których któraś ze zmiennych \(\displaystyle{ w_{i}}\) występuje z wykładnikiem 1.
Wówczas \(\displaystyle{ P[x]\cong P\cong P + x^{2}P[x]}\) (izomorfizmy konstruuje się analogicznie jak w poprzednim zadaniu).
Widać też, że możemy zażądać żeby \(\displaystyle{ P}\) był całkowity.

[xiikzodz]

Przy czym rozumowanie z użyciem \(\displaystyle{ P[x]=xP[x]+P}\) jest OK, lecz zawiera jedno milczące założenie, mianowicie takie, że \(\displaystyle{ P\cdot 1\subseteq P+x^2P[x]}\) jest odwzorowywany izomorficznie w \(\displaystyle{ P\cdot 1\subseteq P[x]}\), to znaczy, że wielomiany stopnia zero są odwzorowywane w wielomiany stopnia zero (tam, gdzie \(\displaystyle{ \varphi(a)=e}\)).

[lukasz_650]

Dzięki czyli w sumie oba zadania okazały się podobne - pierścienie \(\displaystyle{ P[x_1]}\) i \(\displaystyle{ P[x_1, x_2]}\) mogą być izomorficzne, ale nie istnieje izomorfizm, który jest identycznością na zbiorze \(\displaystyle{ P}\) i podobnie w przypadku pierścieni \(\displaystyle{ P[x]}\) i \(\displaystyle{ P + x^{2}P[x]}\).