całka wymierna z e

[Adatiel]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{e ^{x} }{e ^{2x}-4 }dx=|t \Rightarrow e ^{x} dt \Rightarrow e ^{x}dx|= \frac{dt}{t^2-4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{A}{t+2} \frac{B}{t-2}}\)
\(\displaystyle{ A(t+2)+B(t-2)=1}\)
\(\displaystyle{ B(-2-2)=1}\)
\(\displaystyle{ -4B=1}\)
\(\displaystyle{ B= \frac{-1}{4}}\)
\(\displaystyle{ A(2+2)=1}\)
\(\displaystyle{ 4A=1}\)
\(\displaystyle{ A= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}(t+2)-\frac{1}{4}(t-2)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}( e^{x} +2)-\frac{1}{4}(e^{x}-2)}\)

[Eszi]

\(\displaystyle{ t=e^x \Rightarrow \mbox{d}t=e^x \mbox{d}x \Rightarrow \frac{ \mbox{d}t}{t}= \mbox{d}x}\)
Dalej nie sprawdzam

[Adatiel]

Hmm... po rozwinięciu t na x \(\displaystyle{ \Rightarrow \frac{e ^{x}}{e ^{x} }dx}\) spójrz wyżej i wytłumacz się

[Inkwizytor]

Podstawienie jest dobre. Błąd tkwi tu:

\(\displaystyle{ \frac{A}{t+2} \frac{B}{t-2}}\)
\(\displaystyle{ A(t+2)+B(t-2)=1}\)

[Adatiel]

A powinno być...?

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ \frac{A}{t+2} + \frac{B}{t-2}}\)

i sprowadź do wspólnego mianownika.

[Adatiel]

\(\displaystyle{ \frac{A(t-2)+B(t+2)}{t ^{2}-4 }}\) i co dalej??

[Inkwizytor]

Z analizy licznika i przyrównania do licznika funkcji podcałkowej wynika:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=0 \\ -2A+2B = 1 \end{cases}}\)
Czy jasne dlaczego?

[Adatiel]

szczerze nie za bardzo

[Inkwizytor]

funkcja podcałkowa: \(\displaystyle{ \frac{1}{t ^{2}-4 }}\) czyli inaczej \(\displaystyle{ \frac{0t+1}{t ^{2}-4 }}\)
to co otrzymaliśmy to: \(\displaystyle{ \frac{A(t-2)+B(t+2)}{t ^{2}-4 }=\frac{(A+B)t-2A+2B}{t ^{2}-4 }}\)
Przyrównujemy liczniki. Kiedy dwa wielomiany są sobie równe?

[Adatiel]

Czaję tnx teraz już sobie poradzę