wytłumaczenie zrobionego przykładu

[an1715iii]

Miałam podany taki przykład \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n ^{k} } + \frac{2}{n ^{k} } + ... + \frac{n}{n ^{k} } \right) = \frac{n ^{2}+n }{2n ^{k} }}\) dlaczego gdy jest podany już wynik trzeba określić:
\(\displaystyle{ 0\ \ gdy\ \ k >2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\ \ gdy\ \ k =2}\)
\(\displaystyle{ \infty\ \ gdy\ \ k=1\ lub\ k=0}\)

o co w tym chodzi? proszę o wytłumaczenie

[Morgus]

Ta równość jest nieprawdziwa. Po prawej stronie także powinna być granica.

[an1715iii]

ale to już jest przykład rozwiązany, tylko nie wiem dlaczego są te określenia

[Luxy]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n ^{k} } + \frac{2}{n ^{k} } + ... + \frac{n}{n ^{k} } \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n ^{2}+n }{2n ^{k} } = \lim_{n \to \infty} \frac{n ^{2} \cdot (1+ \frac{1}{n} ) }{2n ^{k} } = \lim_{n \to \infty} \frac{n ^{2-k} \cdot (1+ \frac{1}{n} ) }{2 } = \begin{cases} 0\ \ gdy\ \ k >2 \\ \frac{1}{2}\ \ gdy\ \ k =2 \\ \infty\ \ gdy\ \ k=1\ lub\ k=0\end{cases}}\)

Chyba teraz jest zrozumiałe? Chodzi tu o to, że by obliczyć ile wynosi \(\displaystyle{ n^{2-k}}\) dla różnych wartości k, bo cała granica od tego zależy.

Tak się robi przy liczeniu granicy ciągów, że wyłącza się n z najwyższą potęgą i próbuje się skrócić to, co się da.