Funkcja Kwadratowa - 2 LO

[sethcab]

1. Dana jest funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x) = -2x^{2} + 4x + c}\), gdzie \(\displaystyle{ c \in R}\)
Wyznacz wartość współczynnika c, tak aby największa wartość funkcji była równa 4.

Wiem że coś z wierzchołkami paraboli, itp, ale akurat jak to przerabialiśmy nie było mnie na tych lekcjach więc jak ktoś mógłby szczegółowo to opisać było by świetnie.

[zaudi]

największą wartość funkcja osiąga w wierzchołku, czyli policz pierwszą współrzędną wierzchołka i następnie f(xw)=4

[pajong8888]

Funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c}\) przyjmuje wartość największą dla argumentu \(\displaystyle{ x_0=-\frac{b}{2a}}\). Wartość ta równa się \(\displaystyle{ f(-\frac{b}{2a})=a\cdot \frac{b^2}{4a^2}-b\cdot\frac{b}{2a}+c=\frac{-b^2+4ac}{4a}=\frac{-\delta}{4a}}\)

W naszym przypadku wartość ta będzie wynosiła \(\displaystyle{ \frac{-16-8c}{-8}}\)
Kończąc \(\displaystyle{ \frac{-16-8c}{-8}=4\Rightarrow -16-8c=-32\Rightarrow c=2}\)

[Mortify]

Ponieważ jest znak "-" przy kwadracie to parabola jest ramionami skierowana do dołu. Wobec tego największą wartość osiąga w wierzchołku.

Dla \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c}\)
Odcięta wierzchołka wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ x_w =\frac{-b}{2a}}\)
Rzędna wierzchołka wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ y_w \frac{-\Delta}{4a} / lub / y_w=f(x_w)}\)

Osobiście wolę formę \(\displaystyle{ y_w=f(x_w)}\) dlatego z niej skorzystam:

\(\displaystyle{ x_w= - \frac{4}{-4} = 1}\)
\(\displaystyle{ f(1)=-2+4+c}\) ale \(\displaystyle{ f(1)=4}\), więc:
\(\displaystyle{ 2+c=4}\)
\(\displaystyle{ c=2}\)