granice funkcji dwóch zmiennych:

[kortos]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 2\\ y \to 0 }\ \frac{ sin(xy^{2})}{y^2 + (x-2)^{2}} \\ \\}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0\\ y\to 0}\ \frac{y^{3}}{x^{4}+sin^{2}y}\\}\)

Jeśli ktoś ma pomysł na rozwiązanie, to będę bardzo zobowiązany.

[Sir George]

Ad.1. Podstaw \(\displaystyle{ y=0}\), \(\displaystyle{ x\neq2}\) i \(\displaystyle{ x\to2}\).
Wówczas \(\displaystyle{ \frac{\sin(xy^2)}{y^2+(x-2)^2} \ = \ 0}\).
Ponadto dla \(\displaystyle{ x=2}\), \(\displaystyle{ y\neq0}\) i \(\displaystyle{ y\to0}\) dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{\sin(xy^2)}{y^2+(x-2)^2} \ = \ \frac{\sin(2y^2)}{y^2} \ \ 2}\).
Myślę, że z konkretnym wskazaniem ciągów \(\displaystyle{ \{x_n\}}\) i \(\displaystyle{ \{y_n\}}\) już sobie poradzisz...

Ad.2. Zauważ, że dla \(\displaystyle{ y=0}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{y^3}{x^4+\sin^2y} \ = \ 0}\)
Dla \(\displaystyle{ y\neq0}\) mamy ponadto
\(\displaystyle{ \left|\frac{y^3}{x^4+\sin^2y}\right| \ = \ |y|\, \frac{y^2}{x^4+\sin^2y} \ \ |y| \frac{y^2}{\sin^2y} \ \ 0}\)

[kortos]

Dzięki, za pomoc.