granica ciągu z silnią

[praktyk]

oblicz granicę ciągu: podobno ma wyjść \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) tylko nie wiem jak do tego dojść:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1)! \cdot (3n+3)!}{[(2n+2)!]^2} \cdot \frac{[(2n)!]^2}{(n!)(3n)!} =}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ n\to \infty } \frac{n! \cdot (n+1) \cdot (3n)! \cdot (3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(2n)! \cdot (2n+1)(2n+2) \cdot (2n)! \cdot (2n+1)(2n+2)} \cdot \frac{(2n)! \cdot (2n)!}{n! \cdot (3n)!}}\)

rozpisałem te silnie tak, nie wiem czy dobrze, poza tym jak to teraz poskracać/wyliczyć?

[Crizz]

Po prostu poskracaj \(\displaystyle{ (2n)!, (3n)!, n!}\) ze sobą.

[praktyk]

no tak, to wiem zostanie takie coś:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(n+1)(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(2n+1)(2n+2)(2n+1)(2n+2)}}\)

ale co zrobić z tym?

[Crizz]

Jak zawsze w takich zadaniach - wyciągasz przed nawias największą potęgę \(\displaystyle{ n}\) z mianownika (i w liczniku i w mianowniku). Tutaj będzie trzeba wyciągnąć czwartą potęgę.

Prościej: masz iloraz dwóch wielomianów. Jeśli wielomian w liczniku ma mniejszy stopień, to granicą jest \(\displaystyle{ 0}\). Jeśli wielomian w mianowniku ma mniejszy stopień, to granicą jest \(\displaystyle{ +\infty}\) lub \(\displaystyle{ -\infty}\).

Jeśli oba mają ten sam stopień (przypadek z Twojego zadania), to granicą jest iloraz współczynników stojących przy najwyższych potęgach.

Tutaj nie musisz wymnażać nawiasów, by zgadnąć, że w liczniku przy \(\displaystyle{ n^{4}}\) będzie stało \(\displaystyle{ 1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=27}\), a w mianowniku \(\displaystyle{ 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2=16}\).

[praktyk]

czyli oznacza to że wynik będzie \(\displaystyle{ \frac{27}{16}}\) ,a nie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)?

[Crizz]

Tak.