całki niewłaściwe i nieoznaczona

[kfiatek]

Witam, mam niedługo poprawkę z analizy, robię zadanka i bardzo potrzebuję pomocy. Będę wdzięczna za każdą radę!

1) \(\displaystyle{ \int_{ 1 }^{\infty} \frac{1}{x ^{2} } e^{ \frac{1}{x} }dx}\)
wyszło mi \(\displaystyle{ -1-e}\)

2) \(\displaystyle{ \int_{ 0 }^{\pi} \left( 2x+1\right)cosx dx}\)
nie jestem pewna całki nieoznaczonej (=\(\displaystyle{ 2xsinx+2cosx + sinx}\)?), oznaczona to jakiś tasiemiec, więc podejrzewam, że coś jest źle...

3)\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ x^{2}+x+4 }{ x^{3}+x }dx}\)
ktoś podpowie jak to się liczy?

[Afish]

3. Na ułamki proste.

[tometomek91]

2. Przez części i ze wzoru Newtona-Leibniza.

[Crizz]

1. Przez podstawienie, powinno wyjść \(\displaystyle{ e-1}\).

[kfiatek]

1.tak robiłam:
\(\displaystyle{ \int_{ 1 }^{\infty} \frac{1}{x ^{2} } e^{ \frac{1}{x} }dx= \lim_{B \to \infty } \int_{ 1 }^{B} \frac{1}{x ^{2} } e^{ \frac{1}{x} }dx}\)

I.) \(\displaystyle{ \int_{ }^{} \frac{1}{x ^{2} } e^{ \frac{1}{x} }dx =}\)

\(\displaystyle{ |t= \frac{1}{x}|}\)

\(\displaystyle{ | \frac{dt}{dx} =- \frac{1}{x ^{2} } |}\)

\(\displaystyle{ | \frac{dx}{ x^{2}}=-dt |}\)

\(\displaystyle{ = -\int_{}^{} e ^{t} dt= - e^{t}= - e^{ \frac{1}{x} }+C}\)

II.) \(\displaystyle{ \int_{ 1 }^{B} \frac{1}{x ^{2} } e^{ \frac{1}{x} }dx= \left[- e^{ \frac{1}{x} } \right] ^{B} _{1} = -e ^{ \frac{1}{B} } - e}\)

III.)\(\displaystyle{ \lim_{B \to \infty } \int_{ 1 }^{B} \frac{1}{x ^{2} } e^{ \frac{1}{x} }dx = \lim_{B \to \infty } (-e ^{ \frac{1}{B} } - e) = -1 -e}\)


3.im dalej tym mniej pewna jestem tego co pisze...
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ x^{2}+x+4 }{ x^{3}+x }dx=\int_{}^{} \frac{ x^{2}+x+4 }{ x(x^{2}+1) }dx=...}\)

\(\displaystyle{ \frac{ A }{ x}+ \frac{Bx+C}{x ^{2} +1} = \frac{A(x ^{2} +1)+x(Bx+C)}{ x^{3}+x}= \frac{Ax ^{2}+A+Bx ^{2}+Cx }{ x^{3}+x}}\)

\(\displaystyle{ Ax ^{2}+Bx ^{2}+Cx+A=x^{2}+x+4}\)

\(\displaystyle{ A+B=1}\)

\(\displaystyle{ C=1}\)

\(\displaystyle{ A=4}\)

\(\displaystyle{ B=-3}\)


\(\displaystyle{ ...= \int_{}^{} \frac{4}{x}dx + \int_{}^{} \frac{-3x ^{2}+1 }{x ^{2} +1} dx =}\)

\(\displaystyle{ 4 \int_{}^{} \frac{1}{x}dx + \int_{}^{} \frac{-3(x ^{2}+1)+4 }{x ^{2} +1} dx =}\)

\(\displaystyle{ 4 ln \left|x \right| -3\int_{}^{} \frac{x ^{2}+1}{x ^{2} +1} dx + \int_{}^{} \frac{4}{x ^{2} +1}dx = \left |t=x ^{2} +1 \right | =}\)

\(\displaystyle{ 4 ln \left|x \right| -3x + 4 \int_{}^{} \frac{1}{t} dt= 4 ln \left|x \right| -3x + 4 ln \left|x ^{2} +1 \right|}\)

ktoś zechce sprawdzić?

Biorę się właśnie za 2.) (trzymajcie kciuki ;3 )

[Crizz]

II.) \(\displaystyle{ \int_{ 1 }^{B} \frac{1}{x ^{2} } e^{ \frac{1}{x} }dx= \left[- e^{ \frac{1}{x} } \right] ^{B} _{1} = -e ^{ \frac{1}{B} } - e}\)

Przecież \(\displaystyle{ \left[- e^{ \frac{1}{x} } \right] ^{B} _{1} = -e ^{ \frac{1}{B} } - (-e)=-e ^{ \frac{1}{B} } +e}\)

\(\displaystyle{ ...= \int_{}^{} \frac{4}{x}dx + \int_{}^{} \frac{-3x ^{2}+1 }{x ^{2} +1} dx =}\)

Tu powinno być \(\displaystyle{ \frac{-3x+1}{x^{2}+1}}\).

[kfiatek]

no tak, wracamy do podstawówki i dodawania
czyli
II.) \(\displaystyle{ \int_{ 1 }^{B} \frac{1}{x ^{2} } e^{ \frac{1}{x} }dx= \left[- e^{ \frac{1}{x} } \right] ^{B} _{1} = -e ^{ \frac{1}{B} } + e}\)

III.)\(\displaystyle{ \lim_{B \to \infty } \int_{ 1 }^{B} \frac{1}{x ^{2} } e^{ \frac{1}{x} }dx = \lim_{B \to \infty } (-e ^{ \frac{1}{B} } + e) = -1 +e = e -1}\)

i się zgadza! Dzięki

2) \(\displaystyle{ \int_{ 0 }^{\pi} \left( 2x+1\right)cosx dx= \lim_{ \epsilon \to 0} \int_{ 0 }^{\epsilon} \left( 2x+1\right)cosx dx}\)

I.)\(\displaystyle{ \int_{}^{} \left( 2x+1\right)cosx dx=\int_{}^{} \left( 2x+1\right)(sinx)' dx=( 2x+1)(sinx)-\int_{}^{} \left( 2x+1\right)'(sinx) dx=}\)

\(\displaystyle{ ( 2x+1)(sinx)-( 2x+1)(-cosx)=( 2x+1)(sinx+cosx)}\)

II.) \(\displaystyle{ \int_{ 0 }^{\epsilon} \left( 2x+1\right)cosx dx= \left[ ( 2x+1)(sinx+cosx)\right ^{} ]^{ \epsilon } _{0}= \left[ (2 \epsilon +1)(sin \epsilon +cos \epsilon)\right]-\left[ sin0 +cos0\right]}\)

tak to powinno wyglądać do tego miejsca?

3.)
nie wiem skąd ten \(\displaystyle{ x^2}\) wzięłam oO'

\(\displaystyle{ ...= \int_{}^{} \frac{4}{x}dx + \int_{}^{} \frac{-3x +1 }{x ^{2} +1} dx =}\)

\(\displaystyle{ 4 \int_{}^{} \frac{1}{x}dx + \int_{}^{} \frac{-3x }{x ^{2} +1} dx + \int_{}^{} \frac{1 }{x ^{2} +1} dx}\)
\(\displaystyle{ 4 ln \left|x \right| -3 \int_{}^{} \frac{1 }{x ^{2} +1} \cdot x dx + \int_{}^{} \frac{1 }{x ^{2} +1} dx=}\)
\(\displaystyle{ 4 ln \left|x \right| - \frac{3x ^{2} }{2}arctgx + arctgx +C}\)

?

[Crizz]

W trzecim \(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{x ^{2} +1}=\left| \begin{array}{c} t=x^{2}+1\\dt=2xdx\end{array} \right|=...}\)

[kfiatek]

\(\displaystyle{ ...= \int_{}^{} \frac{4}{x}dx + \int_{}^{} \frac{-3x +1 }{x ^{2} +1} dx =}\)

\(\displaystyle{ 4 \int_{}^{} \frac{1}{x}dx + \int_{}^{} \frac{-3x }{x ^{2} +1} dx + \int_{}^{} \frac{1 }{x ^{2} +1} dx}\)
\(\displaystyle{ 4 ln \left|x \right| -3 \int_{}^{} \frac{x }{x ^{2} +1} dx + \int_{}^{} \frac{1 }{x ^{2} +1} dx=...}\)


\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{x ^{2} +1}=\left| \begin{array}{c} t=x^{2}+1\\dt=2xdx\end{array} \right|= \int_{}^{} \frac{dt}{2t}= \frac{1}{2} ln|t|+C =\frac{1}{2} ln|x^{2}+1|+C}\)


\(\displaystyle{ ...=4 ln \left|x \right| -\frac{3 ln|x^{2}+1|}{2} + arctgx + C}\)

ok?

[Crizz]

No jest prawie OK, tylko na końcu \(\displaystyle{ ln|x^{2}+1|}\) Ci przeskoczyło do mianownika. Możesz też zauważyć, że moduł można opuścić (to oczywiście nie błąd, jeśli zostanie).

[kfiatek]

Dzięki wielkie! Może dzięki Twojej pomocy wreszcie zdam analizę

Wracam do 2.), sama jeden błąd znalazłam...

\(\displaystyle{ \int_{ 0 }^{\pi} \left( 2x+1\right)cosx dx= \lim_{ \epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{\pi } \left( 2x+1\right)cosx dx}\)

I.)\(\displaystyle{ \int_{}^{} \left( 2x+1\right)cosx dx=\int_{}^{} \left( 2x+1\right)(sinx)' dx=( 2x+1)(sinx)-\int_{}^{} \left( 2x+1\right)'(sinx) dx=}\)

\(\displaystyle{ ( 2x+1)(sinx)-( 2)(-cosx)=2xsinx +sinx +2cosx+ C}\)

II.) \(\displaystyle{ \int_{ \epsilon }^{\pi} \left( 2x+1\right)cosx dx= \left[ 2xsinx +sinx +2cosx\right ]^{ \pi } _{\epsilon}=}\)

\(\displaystyle{ [2\pi \cdot sin\pi +sin\pi +2cos\pi]- [2\epsilon \cdot sin\epsilon +sin\epsilon +2cos\epsilon]=}\)

\(\displaystyle{ [2\pi \cdot( -sin0)+(-sin0)+( -2cos0)]- [2\epsilon \cdot sin\epsilon +sin\epsilon +2cos\epsilon]=}\)

\(\displaystyle{ -2 - [2\epsilon \cdot sin\epsilon +sin\epsilon +2cos\epsilon]}\)

III.) \(\displaystyle{ \lim_{ \epsilon \to 0} \int_{ \epsilon }^{\pi} \left( 2x+1\right)cosx dx=\lim_{ \epsilon \to 0} -2 - [2\epsilon \cdot sin\epsilon +sin\epsilon +2cos\epsilon]=}\)

\(\displaystyle{ -2 - [0 + 0 +2] = -4}\)

3x się pomyliłam w części trygonometrycznej, nie wiem czy w końcu dobrze to zrobiłam

[Eszi]

Jest ok

[kfiatek]

Wczoraj się dowiedziałam, że wcale nie było ok i powinnam to rozwiązać tak:

\(\displaystyle{ \int_{ 0 }^{\pi} \left( 2x+1\right)cosx dx= \left[ 2xsinx +sinx +2cosx\right ]^{ \pi } _{0}=}\)

\(\displaystyle{ [2\pi \cdot sin\pi +sin\pi +2cos\pi]- [2 \cdot 0 \cdot sin0 +sin0 +2cos0]=}\)

\(\displaystyle{ [2\pi \cdot( -sin0)+(-sin0)+( -2cos0)]- [0 +0 +2]=}\)

\(\displaystyle{ -2 - 2= - 4}\)

Wynik ten sam, bo epsilon dążył do 0 u mnie, ale powinnam to rozpisać jak zwykła całkę oznaczona...

to jak w końcu? potraktowanie całki jak niewłaściwej było błędem?

[Eszi]

Całka niewłaściwa to to nie była ponieważ 0 należało do dziedziny, ale wprowadzenie granicy w tym przypadku nic nie zmienia, więc było ok.