Rozwiązanie równania

[pwkaminski]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania \(\displaystyle{ 2 \sqrt{1+x}+x+2=0}\)

[piasek101]

Dziedzina i podstaw \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=t}\)

[sailormoon88]

A nie lepiej x+1=t?

[piasek101]

A nie lepiej x+1=t?

Wg mnie nie.

[Marcinek665]

Najpierw, to przede wszystkim dziedzina, żeby nic się nie pomieszało. Teoretycznie jedno i drugie podstawienie prowadzi do celu, ale jednak krótszą drogę pokonujemy kładąc \(\displaystyle{ t= \sqrt{x+1}}\).

Można jeszcze łatwiej, szacując odpowiednie składniki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 \sqrt{x+1} \ge 0 \\ x \ge -1 \ \left( \hbox{Dziedzina}\right) \end{cases}}\).

Sumując te nierówności otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{x+1} + x \ge -1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{x+1} + x + 2 \ge 1}\)

W szczególności więc widzimy, że równanie to nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.