Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
- dareox
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 18 sie 2010, o 16:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów/Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
Powierzchnie
\(\displaystyle{ z= \sqrt{ x^{2} + y^{2} }}\)
\(\displaystyle{ 4-3z= x^{2}+y^{2}}\)
Rysunek mam taki:
Czyli wychodzi taki jakby rożek lodowy. Czy rysunek jest dobry? Prosze o zapisanie mi całki jaką mam obliczyc do tego zadania bo roznymi sposobami wychodza mi rozne wyniki, ktore wynoszą 1/2pi lub minimalnie wiecej i nie mam pewnosci ktory wynik jest dobry.
\(\displaystyle{ z= \sqrt{ x^{2} + y^{2} }}\)
\(\displaystyle{ 4-3z= x^{2}+y^{2}}\)
Rysunek mam taki:
Czyli wychodzi taki jakby rożek lodowy. Czy rysunek jest dobry? Prosze o zapisanie mi całki jaką mam obliczyc do tego zadania bo roznymi sposobami wychodza mi rozne wyniki, ktore wynoszą 1/2pi lub minimalnie wiecej i nie mam pewnosci ktory wynik jest dobry.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
To będzie chyba coś takiego
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi \int_{0}^{1}{ \frac{1}{3}r \left(r^2+3r-4 \right) \mbox{d}r }}\)
Ponieważ mamy tutaj
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ x^2+y^2}\)
to wygodniej będzie przejść na układ biegunowy
Promień obliczyłem w ten sposób
\(\displaystyle{ \begin{cases} z=r \\ 4-3z=r^2 \end{cases} \\
\begin{cases} 3z=3r \\ -3z=r^2-4 \end{cases}
\begin{cases} z=r \\ r^2+3r-4=0 \end{cases}}\)
Otrzymałem \(\displaystyle{ r\in \left( -4;1\right)}\)
Po uwzględnieniu tego że promień nie może być ujemny otrzymałem
\(\displaystyle{ r\in \left( 0;1\right)}\)
Ograniczeń dla kąta nie widzę więc
\(\displaystyle{ \varphi \in \left(0;2\pi \right)}\)
Zamiana zmiennych w całce podwójnej
\(\displaystyle{ x=r\cos{\varphi}\\
y=r\sin{\varphi}\\
J=r}\)
I teraz ktoś mógłby sprawdzić czy dobrze
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi \int_{0}^{1}{ \frac{1}{3}r \left(r^2+3r-4 \right) \mbox{d}r }}\)
Ponieważ mamy tutaj
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ x^2+y^2}\)
to wygodniej będzie przejść na układ biegunowy
Promień obliczyłem w ten sposób
\(\displaystyle{ \begin{cases} z=r \\ 4-3z=r^2 \end{cases} \\
\begin{cases} 3z=3r \\ -3z=r^2-4 \end{cases}
\begin{cases} z=r \\ r^2+3r-4=0 \end{cases}}\)
Otrzymałem \(\displaystyle{ r\in \left( -4;1\right)}\)
Po uwzględnieniu tego że promień nie może być ujemny otrzymałem
\(\displaystyle{ r\in \left( 0;1\right)}\)
Ograniczeń dla kąta nie widzę więc
\(\displaystyle{ \varphi \in \left(0;2\pi \right)}\)
Zamiana zmiennych w całce podwójnej
\(\displaystyle{ x=r\cos{\varphi}\\
y=r\sin{\varphi}\\
J=r}\)
I teraz ktoś mógłby sprawdzić czy dobrze
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2010, o 11:42 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 2 razy.
- gott314
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 38 razy
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
Tak.dareox pisze:Czy rysunek jest dobry?
Wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\pi}\).mariuszm pisze:To będzie chyba coś takiego
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi \int_{0}^{1}{ \frac{1}{3}r \left(r^2+3r-4 \right) \mbox{d}r }}\)
Po przejściu na współrzędne biegunowe, objętość rożka będzie równa sumie dwóch całek.dareox pisze:Prosze o zapisanie mi całki jaką mam obliczyc do tego zadania bo roznymi sposobami wychodza mi rozne wyniki, ktore wynoszą 1/2pi lub minimalnie wiecej i nie mam pewnosci ktory wynik jest dobry.
\(\displaystyle{ V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(-\frac{1}{3}r^2+\frac{1}{3})\cdot r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha +\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2 \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\)-- 8 wrz 2010, o 11:36 --Mała pomyłka w zapisie.
Powinno być
\(\displaystyle{ V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(-\frac{1}{3}r^2+\frac{1}{3})\cdot r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha +\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(r-r^2) \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha=}\)
\(\displaystyle{ =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} -\frac{1}{3}r^3 - r^2+\frac{4}{3}r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha=\frac{1}{2}\pi}\).
- dareox
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 18 sie 2010, o 16:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów/Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
pierwsza całka to objętość tej "kopuły" druga to tego stożka z tym ze mam pytanie odnosnie tej pomylki w zapisie. Dlaczego tam ma być (1-r)*r=r-r^2 w drugiej calce? Nie rozumiem tej jedynki? Bardzo proszę o wytłumaczenie
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
gott314, ten minus to dlatego że trochę inaczej wiziąłem funkcje
dareox,
Ja korzystałem ze wzorku
\(\displaystyle{ V= \iint_{D}{ \left(z_{1}-z_{2} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y}}\)
i zamieniłem na współrzędne biegunowe
a gott314, rozbił obszar całkowania na dwie części
dareox,
Ja korzystałem ze wzorku
\(\displaystyle{ V= \iint_{D}{ \left(z_{1}-z_{2} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y}}\)
i zamieniłem na współrzędne biegunowe
a gott314, rozbił obszar całkowania na dwie części
- gott314
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 38 razy
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
Ponieważ, obliczyłem objętość stożka odejmując objętość figury ograniczonej płaszczyznami \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), \(\displaystyle{ z=0}\), \(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\) (figura, wyglądająca jakbyśmy "wyjęli" z walca stożek) od objętości walca (w tym przypadku figury ograniczonej płaszczyznami \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), \(\displaystyle{ z=0}\), \(\displaystyle{ z=1}\)).
Po przejściu na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\) - objętość walca,
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2 \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\) - objętość figury ograniczonej płaszczyznami \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), \(\displaystyle{ z=0}\), \(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\).
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha-\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2 \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r-r^2 \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\)
Po przejściu na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\) - objętość walca,
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2 \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\) - objętość figury ograniczonej płaszczyznami \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), \(\displaystyle{ z=0}\), \(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\).
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha-\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2 \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r-r^2 \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
gott314, a nie można było tego obliczyć jedną całką (a że wynik wychodzi ujemny to dlatego że trochę inaczej wziąłem funkcje)
- gott314
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 38 razy
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
Zaprezenotwałeś sposób, w którym można było to obliczyć jedną całką, zatem odpowiedź na Twoje pytanie jest pozytywna.mariuszm pisze:gott314, a nie można było tego obliczyć jedną całką (a że wynik wychodzi ujemny to dlatego że trochę inaczej wziąłem funkcje)
Sposób, który ja przedstawiłem był metodą czysto logiczną i nie ma w sobie błędu. W ostateczności dochodzi się do poprawnego wyniku.
- dareox
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 18 sie 2010, o 16:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów/Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
Kurde jak na to patrze tak spokojnie to nie wiem dalej czemu objetosc walca wyszła całka z r, na moj myślunek (narazie) powinna wyjsc całka z r^3
- gott314
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 38 razy
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
\(\displaystyle{ |V|=\iint_D 1 \ \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Walec jest ograniczony z góry przez płaszczyznę \(\displaystyle{ z=1}\), dlatego w całce powyżej jest \(\displaystyle{ 1}\).
Przechodzimy na współrzędne biegunowe (nie zapominając o jakobianie!)
\(\displaystyle{ |V|=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}1 \cdot r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\).
Dlaczego powinna wyjść całka z \(\displaystyle{ r^3}\)? Przedstaw swój tok rozumowania.
Walec jest ograniczony z góry przez płaszczyznę \(\displaystyle{ z=1}\), dlatego w całce powyżej jest \(\displaystyle{ 1}\).
Przechodzimy na współrzędne biegunowe (nie zapominając o jakobianie!)
\(\displaystyle{ |V|=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}1 \cdot r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\).
Dlaczego powinna wyjść całka z \(\displaystyle{ r^3}\)? Przedstaw swój tok rozumowania.
- gott314
- Użytkownik
- Posty: 233
- Rejestracja: 15 kwie 2009, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 38 razy
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
Nie rozumiem o co Ci chodzi. Możesz dokładniej wyjaśnić, proszę.mariuszm pisze:gott314, Pole koła równe objętości walca (trochę dziwne)