Objętość bryły ograniczonej powierzchniami

[dareox]

Powierzchnie
\(\displaystyle{ z= \sqrt{ x^{2} + y^{2} }}\)
\(\displaystyle{ 4-3z= x^{2}+y^{2}}\)
Rysunek mam taki:

Czyli wychodzi taki jakby rożek lodowy. Czy rysunek jest dobry? Prosze o zapisanie mi całki jaką mam obliczyc do tego zadania bo roznymi sposobami wychodza mi rozne wyniki, ktore wynoszą 1/2pi lub minimalnie wiecej i nie mam pewnosci ktory wynik jest dobry.

[Mariusz M]

To będzie chyba coś takiego

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi \int_{0}^{1}{ \frac{1}{3}r \left(r^2+3r-4 \right) \mbox{d}r }}\)

Ponieważ mamy tutaj
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ x^2+y^2}\)

to wygodniej będzie przejść na układ biegunowy

Promień obliczyłem w ten sposób

\(\displaystyle{ \begin{cases} z=r \\ 4-3z=r^2 \end{cases} \\
\begin{cases} 3z=3r \\ -3z=r^2-4 \end{cases}
\begin{cases} z=r \\ r^2+3r-4=0 \end{cases}}\)

Otrzymałem \(\displaystyle{ r\in \left( -4;1\right)}\)

Po uwzględnieniu tego że promień nie może być ujemny otrzymałem

\(\displaystyle{ r\in \left( 0;1\right)}\)

Ograniczeń dla kąta nie widzę więc

\(\displaystyle{ \varphi \in \left(0;2\pi \right)}\)

Zamiana zmiennych w całce podwójnej

\(\displaystyle{ x=r\cos{\varphi}\\
y=r\sin{\varphi}\\
J=r}\)

I teraz ktoś mógłby sprawdzić czy dobrze

[gott314]

Czy rysunek jest dobry?

Tak.

To będzie chyba coś takiego

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi \int_{0}^{1}{ \frac{1}{3}r \left(r^2+3r-4 \right) \mbox{d}r }}\)

Wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\pi}\).

Prosze o zapisanie mi całki jaką mam obliczyc do tego zadania bo roznymi sposobami wychodza mi rozne wyniki, ktore wynoszą 1/2pi lub minimalnie wiecej i nie mam pewnosci ktory wynik jest dobry.

Po przejściu na współrzędne biegunowe, objętość rożka będzie równa sumie dwóch całek.

\(\displaystyle{ V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(-\frac{1}{3}r^2+\frac{1}{3})\cdot r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha +\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2 \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\)-- 8 wrz 2010, o 11:36 --Mała pomyłka w zapisie.
Powinno być

\(\displaystyle{ V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(-\frac{1}{3}r^2+\frac{1}{3})\cdot r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha +\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(r-r^2) \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha=}\)
\(\displaystyle{ =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} -\frac{1}{3}r^3 - r^2+\frac{4}{3}r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha=\frac{1}{2}\pi}\).

[dareox]

pierwsza całka to objętość tej "kopuły" druga to tego stożka z tym ze mam pytanie odnosnie tej pomylki w zapisie. Dlaczego tam ma być (1-r)*r=r-r^2 w drugiej calce? Nie rozumiem tej jedynki? Bardzo proszę o wytłumaczenie

[Mariusz M]

gott314, ten minus to dlatego że trochę inaczej wiziąłem funkcje

dareox,

Ja korzystałem ze wzorku

\(\displaystyle{ V= \iint_{D}{ \left(z_{1}-z_{2} \right) \mbox{d}x \mbox{d}y}}\)

i zamieniłem na współrzędne biegunowe

a gott314, rozbił obszar całkowania na dwie części

[dareox]

Wiem, że rozbił na dwie tylko nie wiem o co chodzi w tej drugiej calce- liczącej stożek dlaczego jest r-r^2??

[gott314]

Ponieważ, obliczyłem objętość stożka odejmując objętość figury ograniczonej płaszczyznami \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), \(\displaystyle{ z=0}\), \(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\) (figura, wyglądająca jakbyśmy "wyjęli" z walca stożek) od objętości walca (w tym przypadku figury ograniczonej płaszczyznami \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), \(\displaystyle{ z=0}\), \(\displaystyle{ z=1}\)).
Po przejściu na współrzędne biegunowe:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\) - objętość walca,

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2 \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\) - objętość figury ograniczonej płaszczyznami \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), \(\displaystyle{ z=0}\), \(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\).

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha-\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2 \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r-r^2 \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\)

[dareox]

coś czułem ze o to chodzi, tylko nie wiedziałem jak to zostało rozpisane. Dzieki wielkie:)

[Mariusz M]

gott314, a nie można było tego obliczyć jedną całką (a że wynik wychodzi ujemny to dlatego że trochę inaczej wziąłem funkcje)

[gott314]

gott314, a nie można było tego obliczyć jedną całką (a że wynik wychodzi ujemny to dlatego że trochę inaczej wziąłem funkcje)

Zaprezenotwałeś sposób, w którym można było to obliczyć jedną całką, zatem odpowiedź na Twoje pytanie jest pozytywna.
Sposób, który ja przedstawiłem był metodą czysto logiczną i nie ma w sobie błędu. W ostateczności dochodzi się do poprawnego wyniku.

[dareox]

Kurde jak na to patrze tak spokojnie to nie wiem dalej czemu objetosc walca wyszła całka z r, na moj myślunek (narazie) powinna wyjsc całka z r^3

[gott314]

\(\displaystyle{ |V|=\iint_D 1 \ \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Walec jest ograniczony z góry przez płaszczyznę \(\displaystyle{ z=1}\), dlatego w całce powyżej jest \(\displaystyle{ 1}\).
Przechodzimy na współrzędne biegunowe (nie zapominając o jakobianie!)
\(\displaystyle{ |V|=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}1 \cdot r \ \mbox{d}r \mbox{d}\alpha}\).

Dlaczego powinna wyjść całka z \(\displaystyle{ r^3}\)? Przedstaw swój tok rozumowania.

[Mariusz M]

gott314, Pole koła równe objętości walca (trochę dziwne)

[gott314]

gott314, Pole koła równe objętości walca (trochę dziwne)

Nie rozumiem o co Ci chodzi. Możesz dokładniej wyjaśnić, proszę.