Witam.
Zadanie polega na tym, że mam wykazać, że podane proste są prostymi skośnymi.
\(\displaystyle{ l_{1}: \ \frac{x-3}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{3} \\
l_{2}: \ \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{2}}\)
Z tego jasno wynika, że:
\(\displaystyle{ \vec{a_{1}}=[4,3,3] \\
\vec{a_{2}}=[3,4,2] \\
p_{1}=(3,0,-1) \\
p_{2}=(2,-1,0)}\)
Teraz nie wiem jak wykonać to zadanie. Pomysły mam dwa.
1) wykazać, że proste nie są równoległe poprzez pokazanie
\(\displaystyle{ \frac{\vec{a_{1}}}{\vec{a_{2}}}\neq k}\) gdzie k jest stałą liczbą niezerową
potem wykazać, że proste nie mają punktu wspólnego rozwiązując równanie?
2) ktoś mi podrzucił taki pomysł:
\(\displaystyle{ ( \vec{a_{1}} \times \vec{a_{2}}) \cdot \vec{p_{1}p_{2}}=0}\)
Przyznam, że tego trochę nie za bardzo rozumiem, tzn. Wiem, że iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych prostych da wektor prostopadły do obu wektorów a1 i a2. I ten powstały wektor ma być prostopadły do wektora łączącego obie proste? Chyba nie bardzo? Chyba właśnie NIE powinien być prostopadły tj. iloczyn skalarny powinien być \(\displaystyle{ \neq 0}\)?
Z góry dzięki.
wykazać, że podane proste są skośne
-
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
wykazać, że podane proste są skośne
Można też obliczyć wykładnik:
jeśli
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\l_1&m_1&n_1\\l_2&m_2&n_2\end{array}\right| \neq 0}\)
gdzie
\(\displaystyle{ (x_1,y_1,z_1)=P_1}\)
\(\displaystyle{ (x_2,y_2,z_2)=P_2}\)
\(\displaystyle{ [l_1,m_1,n_1]= \vec{a}}\)
\(\displaystyle{ [l_2,m_2,n_2]=\vec{b}}\),
to proste są skośne-- 8 wrz 2010, o 00:05 --\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-1&-1&1\\4&3&3\\3&4&2\end{array}\right|=-6-9+16-9+12+8=36-24=12 \neq 0}\)
Proste są skośne
jeśli
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\l_1&m_1&n_1\\l_2&m_2&n_2\end{array}\right| \neq 0}\)
gdzie
\(\displaystyle{ (x_1,y_1,z_1)=P_1}\)
\(\displaystyle{ (x_2,y_2,z_2)=P_2}\)
\(\displaystyle{ [l_1,m_1,n_1]= \vec{a}}\)
\(\displaystyle{ [l_2,m_2,n_2]=\vec{b}}\),
to proste są skośne-- 8 wrz 2010, o 00:05 --\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-1&-1&1\\4&3&3\\3&4&2\end{array}\right|=-6-9+16-9+12+8=36-24=12 \neq 0}\)
Proste są skośne
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
wykazać, że podane proste są skośne
Pierwszy sposób będzie jak najbardziej OK.
W drugim sposobie powinno być \(\displaystyle{ \neq 0}\). Gdyby podane wyrażenie było równe zeru, to albo dlatego, że \(\displaystyle{ \vec{a_{1}} \times \vec{a_{2}}=0}\) (wektory kierunkowe są równoległe, czyli proste też), albo wektor łączący dwa punkty tych prostych byłby prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny równoległej do obu tych prostych. To oznaczałoby, że istnieje płaszczyzna równoległa do obu tych prostych, zawierająca co najmniej po jednym punkcie każdej z tych prostych (czyli w praktyce zawierająca obie te proste).
Mam nadzieję, że nie namieszałem, w każdym razie obie metody są poprawne.
-- 7 września 2010, 23:11 --
Nawiasem mówiąc - irena_1, zauważ, że to co napisałaś, to właśnie druga z opisanych metod.
W drugim sposobie powinno być \(\displaystyle{ \neq 0}\). Gdyby podane wyrażenie było równe zeru, to albo dlatego, że \(\displaystyle{ \vec{a_{1}} \times \vec{a_{2}}=0}\) (wektory kierunkowe są równoległe, czyli proste też), albo wektor łączący dwa punkty tych prostych byłby prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny równoległej do obu tych prostych. To oznaczałoby, że istnieje płaszczyzna równoległa do obu tych prostych, zawierająca co najmniej po jednym punkcie każdej z tych prostych (czyli w praktyce zawierająca obie te proste).
Mam nadzieję, że nie namieszałem, w każdym razie obie metody są poprawne.
-- 7 września 2010, 23:11 --
Nawiasem mówiąc - irena_1, zauważ, że to co napisałaś, to właśnie druga z opisanych metod.
wykazać, że podane proste są skośne
Skoro proponuje Pani wykładnik to znaczy, że \(\displaystyle{ ( \vec{a_{1}} \times \vec{a_{2}}) \cdot \vec{p_{1}p_{2}} \neq 0}\) jest w tym przypadku słuszne?
Wyobrażam sobie to wszystko mniej-więcej w przestrzeni, ale mimo wszystko chciałbym usłyszeć dlaczego ten wyznacznik jest poprawny? jakie to ma uzasadnienie?
Wyobrażam sobie to wszystko mniej-więcej w przestrzeni, ale mimo wszystko chciałbym usłyszeć dlaczego ten wyznacznik jest poprawny? jakie to ma uzasadnienie?