Dowód wzoru na sumę kolejnych liczb całkowitych

[minik03]

mam pokazac metodą indukcji matematycznej prawdziwość wzoru

\(\displaystyle{ p+(p+1)+(p+2)+...+(p+n)= \frac{(n+1)(2p+n)}{2}}\)

[Afish]

Z czym masz problem?

[minik03]

sam niewiem nieraz bardzo proste tematy robia nam najwięcej problemu


może tak być

\(\displaystyle{ p+(p+1)= \frac{(n+1)(2p+n)}{2}}\)

\(\displaystyle{ 1+(1+1)= \frac{(1+1)(2*1+1)}{2}}\)
3=3

i to by wystarczyło czy trzeba wiecej rozpisać

[Afish]

Najpierw sprawdzasz dla \(\displaystyle{ n=1}\), czyli zamiast \(\displaystyle{ n}\) podstawiasz jedynkę i sprawdzasz, czy \(\displaystyle{ L=P}\)
Potem zakładasz, że dla jakiegoś \(\displaystyle{ n}\) wzorek jest prawdziwy i wykorzystując tę wiedzę sprawdzasz, czy jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ n+1}\)

[minik03]

no to mam sprawdzone dla n=1 i l=p a jak rozpisać n+1 to już czarna magia

[Althorion]

\(\displaystyle{ p+(p+1)+(p+2)+ \ldots +(p+n) + (p+n+1) = \frac{(n+2)(2p+n+1)}{2} \\
\frac{(n+1)(2p+n)}{2} + p + n + 1 = \frac{(n+2)(2p+n+1)}{2}}\)

[Mersenne]

założenie: \(\displaystyle{ p+(p+1)+(p+2)+...+(p+k)=\frac{(k+1)(2p+k)}{2}}\)

teza: \(\displaystyle{ p+(p+1)+(p+2)+...+(p+k+1)=\frac{(k+2)(2p+k+1)}{2}}\)

dowód:
\(\displaystyle{ L=p+(p+1)+(p+2)+...+(p+k+1)=\frac{(k+1)(2p+k)}{2}+(p+k+1)=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{(k+1)(2p+k)+2(p+k+1)}{2}=\frac{2kp+k^{2}+2p+k+2p+2k+2}{2}=\frac{2kp+k^{2}+4p+2k+k+2}{2}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{k(k+2)+(k+2)+2p(k+2)}{2}=\frac{(k+2)(k+2p+1)}{2}=P}\)

[minik03]

dzięki wielkie jestescie wielcy-teraz wszystko rozumie