Granica funkcji

[michk]

Prosiłbym o pomoc w wyliczeniu granicy.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } x _{} \ln {x}}\)

Mam jeszcze pytanie czy takie postępowanie jest dopuszczalne
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } x _{} \ln {x} = \lim_{x \to 0 ^{+} } x _{} \ln {x} _{} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0 ^{+} } \frac{x ^{2} _{} \ln {x}}{x}}\)

[Qń]

Mam jeszcze pytanie czy takie postępowanie jest dopuszczalne
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } x _{} \ln {x} = \lim_{x \to 0 ^{+} } x _{} \ln {x} _{} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0 ^{+} } \frac{x ^{2} _{} \ln {x}}{x}}\)

Jest dopuszczalne, ale żeby móc skorzystać tu z tw. d'Hospitala trzeba by najpierw wykazać, że licznik zbiega do zera.

Lepiej zaś jest przekształcić wyjściową granicę do postaci:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}}\)
i tutaj już można śmiało korzystać z tw. d'Hospitala, bo licznik i mianownik dążą do nieskończoności.

Q.

[michk]

Dziękuję, czyli jeśli w jakimś przykładzie mnożenie funkcji razy \(\displaystyle{ \frac{x}{x}}\) ułatwi mi liczenie to mogę je bez problemu zastosować? Bo tak na chłopski rozum pomnożenie funkcji razy 1 nie powinno niczego w niej zmienić.

[Qń]

Tak, możesz stosować ten trik, tylko tutaj nie jest on specjalnie przydatny.

Q.