Witam wszystkich forumowiczów!
Rozwiązuję zadania z poprzednich lat, z egzaminów matematyki na WFiIS AGH. Jest takie zadanie:
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty {{n^{3n}5^n}\over{(3n)!}}}\)
Które rozwiązuje się dzięki kryterium d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = lim{ \left\{\frac{(n+1)^{3(n+1)}5^{n+1}}{[3(n+1)]!} \cdot \frac{(3n)!}{n^{3n}5^n} \right\}}= \\ \\
= lim (n+1)^3 (n+1)^{3n} \cdot \frac{(3n)! \cdot 5^{n+1}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1) \cdot(3n)! n^{3n} 5^n}= \\ \\
=5 \cdot lim \left\{\left[\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\right]^3 \frac{(n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}\right\}}\)
Bierzemy na warsztat pierwszy czynnik:
\(\displaystyle{ \left[\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\right]^3 = \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^3 \\
\\
\lim_{n \to \infty}\left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^3 =e^3}\)
Bierzemy na warsztat drugi czynnik:
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} = \frac{n^3 + \cdots}{ 27n^3 + \cdots}\\
\\
\lim_{n \to \infty}\frac{n^3 + \cdots}{ 27n^3 + \cdots} = \frac{1}{27}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{5e^3}{27} \approx \frac{40}{27}>1}\)
Szereg jest rozbieżny.
----
Chciałbym jednak zbadać WK zbieżności szeregu, i tutaj pojawia się problem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {{n^{3n}5^n}\over{(3n)!}}= ?}\)
Czym to ugryźć?
WK zbieżności, d'Alembert
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
WK zbieżności, d'Alembert
Można korzystając z nierówności:machacz pisze:Chciałbym jednak zbadać WK zbieżności szeregu, i tutaj pojawia się problem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {{n^{3n}5^n}\over{(3n)!}}= ?}\)
Czym to ugryźć?
\(\displaystyle{ \left( \frac{n}{3} \right)^n < n! < \left( \frac{n}{2} \right)^n}\)
wykazać, że
\(\displaystyle{ \left( \frac{40}{27} \right)^n < \frac{n^{3n}5^n}{(3n)!}}\)
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 3 wrz 2009, o 12:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
WK zbieżności, d'Alembert
Nie za bardzo rozumiem...Qń pisze:Można korzystając z nierówności:machacz pisze:Chciałbym jednak zbadać WK zbieżności szeregu, i tutaj pojawia się problem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {{n^{3n}5^n}\over{(3n)!}}= ?}\)
Czym to ugryźć?
\(\displaystyle{ \left( \frac{n}{3} \right)^n < n! < \left( \frac{n}{2} \right)^n}\)
wykazać, że
\(\displaystyle{ \left( \frac{40}{27} \right)^n < \frac{n^{3n}5^n}{(3n)!}}\)
Q.
\(\displaystyle{ \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{40}{27} \right) \\ \\}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{40}{27} \right)^n < \frac{n^{3n}5^n}{(3n)!}}\)?
Chodzi mi tylko o zbadanie WK, czyli sprawdzenie czy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {{n^{3n}5^n}\over{(3n)!}}=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
WK zbieżności, d'Alembert
Z twierdzenia o trzech ciągach (czy też tutaj w zasadzie o dwóch) wynika, że ciąg który sumujemy jest rozbieżny do nieskończoności, a nie zbieżny do zera.
Q.
Q.