Całka podwójna - współrzędne biegunowe

[semp]

Bardzo prosiłabym o rozwiązanie - jutro mam egzamin, a w ogóle tego nie rozumiem.

Opisz zadany obszar we współrzędnych biegunowych, wykonaj zamianę zmiennych i iterację całki podwójnej we współrzędnych biegunowych.

a) \(\displaystyle{ \iint_{D}f (x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y}\) \(\displaystyle{ D: x^{2} + y^{2} = 4}\) \(\displaystyle{ x \le 0}\) \(\displaystyle{ y \ge 0}\)
b) \(\displaystyle{ \iint_{D}f (x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y}\) \(\displaystyle{ D: x^{2} + y^{2} = 4}\) \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = 1}\)

[M Ciesielski]

było już tego mnóstwo a gotowiec nic nie da, ale prosze:

w obu przypadkach

\(\displaystyle{ x = rcos\phi \\ y = rsin\phi \\ |J| = r}\)

1. \(\displaystyle{ \Delta: \begin{cases} 0 \le r \le 2 \\ \frac{\pi}{2} \le \phi \le \pi \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \iint_D f(x,y)dxdy = \int\limits_0^2dr \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}r\cdot f(r, \phi ) d \phi}\)

2. \(\displaystyle{ \Delta: \begin{cases} 1 \le r \le 2 \\ 0 \le \phi \le 2 \pi \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \iint_D f(x,y)dxdy = \int\limits_1^2dr \int\limits_{0}^{2 \pi} r\cdot f(r, \phi ) d \phi}\)

gdybyć czegoś nie zrozumiał albo nie wiedzial co się skąd bierze to powiedz konkretnie

Pozdrawiam.

[Hania_87]

a) okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 2}\) w początku układu współrzędnych
b) dwa okręgi (pierścień), mniejszy o promieniu \(\displaystyle{ 1}\), a większy o promieniu \(\displaystyle{ 2}\)

[camillos90]

Przepraszam, ze odgrzebuje tak stary temat, ale nie chce zakładać nowego skoro ja mam podobny problem. Proszę niech mi ktoś przystępnie wytłumaczy skąd sie biorą ograniczenia dla kąta, bo szukałem już wszędzie, ale nie potrafię tego zrozumieć...

[Ksl]

Rysujesz sobie układ współrzędnych x,y
\(\displaystyle{ y>0}\) a \(\displaystyle{ x<0}\) zatem druga ćwiartka.
Więc kąt od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) do \(\displaystyle{ \pi}\)

[panfilek]

Ja mam też podobny problem dlatego sie zapytam zeby być pewnym czy dobrze czy źle mysle.
Przykład jest:
\(\displaystyle{ x^{2} + y ^{2} = 4

z=x+2y+3

y=0 (dla y \ge 0)

z=0

Czyli jak wywnioskowałem z tego co tu jest napisane to kąt który mnie interesuje to ( \pi, \frac{3}{2} \pi )}\)

Już znam odpowiedz nie wiedzialem o co comon z tym wykresem dopiero teraz zatrybiłem:))
poprawiając wcześniejsza bzdurę obszar to \(\displaystyle{ ( \pi , 2\pi )}\)