równanie różniczkowe liniowe
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
równanie różniczkowe liniowe
Rozdzielić nie. Jeśli przekształcisz to do postaci
\(\displaystyle{ y'-\frac{1}{x}y=x^2}\)
to zobaczysz, że jest to równanie liniowe (metodę rozwiązywania zapewne znasz).
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ y'-\frac{1}{x}y=x^2}\)
to zobaczysz, że jest to równanie liniowe (metodę rozwiązywania zapewne znasz).
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
równanie różniczkowe liniowe
Najpierw rozwiązujesz pomocnicze równanie jednorodne, tzn
\(\displaystyle{ y'-\frac{1}{x}y=0}\)
a potem tzw. metoda uzmienniania stałej. Jeśli nie wiesz o co chodzi, to wystarczy zajrzeć do pierwszej z brzegu książki z zakresu równań różniczkowych zwyczajnych.
Rozwiąż powyższe równanie, to podpowiem Ci co dalej, jeśli nadal nie będziesz wiedział.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ y'-\frac{1}{x}y=0}\)
a potem tzw. metoda uzmienniania stałej. Jeśli nie wiesz o co chodzi, to wystarczy zajrzeć do pierwszej z brzegu książki z zakresu równań różniczkowych zwyczajnych.
Rozwiąż powyższe równanie, to podpowiem Ci co dalej, jeśli nadal nie będziesz wiedział.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 1130
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 22:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 156 razy
równanie różniczkowe liniowe
\(\displaystyle{ y'=\frac{y}{x} \\
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x} \\
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x} \\
\ln|y|=\ln|x|+C}\)
Tak dobrze?
Niestety nie wiem co dalej
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x} \\
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x} \\
\ln|y|=\ln|x|+C}\)
Tak dobrze?
Niestety nie wiem co dalej
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 24 sty 2007, o 22:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
równanie różniczkowe liniowe
Tak. Dalej wygodnie będzie zapisać C jako \(\displaystyle{ ln|C|}\), pozbywamy sie logarytmów i otrzymujemy:Andreas pisze:\(\displaystyle{ \ln|y|=\ln|x|+C}\)
Tak dobrze?
Niestety nie wiem co dalej
\(\displaystyle{ y=Cx}\)
Uzmienniamy stałą
\(\displaystyle{ y=C(x)x}\)
Różniczkujemy obustronnie
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{dC(x)x}{dx} +Cx}\)
Wstawiamy do pierwotnego równania:
\(\displaystyle{ \frac{dC(x)x}{dx} +C(x)-C(x)= x^{2}}\)
Porządkujemy i rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ dC(x)= x dx}\)
Całkujemy otrzymując
\(\displaystyle{ C(x)= \frac{ x^{2} }{2}}\)
Otrzymane C(x) wstawiamy do równania z uzmienniania stałej i cieszymy się rozwiązanym zadaniem
Odp:
\(\displaystyle{ y= \frac{ x^{3} }{2}}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
równanie różniczkowe liniowe
i105n2k, no nie jest to prawidłowa odpowiedź
(czegoś brakuje)
\(\displaystyle{ x^2+\frac{y}{x}=y'}\)
\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x}=x^2}\)
Skorzystam z czynnika całkującego (tak będzie szybciej)
\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x}=x^2}\)
Czynnik całkujący to \(\displaystyle{ e^{ -\int{ \frac{1}{x} \mbox{d}x }}= \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ y' \cdot \frac{1}{x}- \frac{1}{x^2} \cdot y=x}\)
\(\displaystyle{ \left( y \cdot \frac{1}{x} \right)'=x}\)
\(\displaystyle{ y \cdot \frac{1}{x}= \frac{x^2}{2}+C}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{x^3}{2}+Cx}\)
Twoje rozwiązanie byłoby prawidłowe gdyby był nałożony pewien warunek początkowy
(czegoś brakuje)
\(\displaystyle{ x^2+\frac{y}{x}=y'}\)
\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x}=x^2}\)
Skorzystam z czynnika całkującego (tak będzie szybciej)
\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x}=x^2}\)
Czynnik całkujący to \(\displaystyle{ e^{ -\int{ \frac{1}{x} \mbox{d}x }}= \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ y' \cdot \frac{1}{x}- \frac{1}{x^2} \cdot y=x}\)
\(\displaystyle{ \left( y \cdot \frac{1}{x} \right)'=x}\)
\(\displaystyle{ y \cdot \frac{1}{x}= \frac{x^2}{2}+C}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{x^3}{2}+Cx}\)
Twoje rozwiązanie byłoby prawidłowe gdyby był nałożony pewien warunek początkowy
-
- Użytkownik
- Posty: 1130
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 22:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 156 razy
równanie różniczkowe liniowe
W zadaniu był podany warunek początkowy ale nie napisałem. y(2)=8mariuszm pisze:Twoje rozwiązanie byłoby prawidłowe gdyby był nałożony pewien warunek początkowy
w którym miejscu rozwiązania i105n2k należy to podstawić?
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
równanie różniczkowe liniowe
Andreas,
Stałą całkowania obliczasz zgodnie z podanym warunkiem początkowym
\(\displaystyle{ 4+2C=8}\)
A rozwiązanie i105n2k, byłoby poprawne gdyby z warunku początkowego stała wyszła zero
Stałą całkowania obliczasz zgodnie z podanym warunkiem początkowym
\(\displaystyle{ 4+2C=8}\)
A rozwiązanie i105n2k, byłoby poprawne gdyby z warunku początkowego stała wyszła zero
-
- Użytkownik
- Posty: 1130
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 22:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 156 razy
równanie różniczkowe liniowe
A która część tego rozwiązania jest niepoprawna? Bo chciałbym znać także tą drugą metodęmariuszm pisze:A rozwiązanie i105n2k, byłoby poprawne gdyby z warunku początkowego stała wyszła zero