równanie różniczkowe liniowe

[Andreas]

Proszę o pomoc z takim równaniem
\(\displaystyle{ x^2+\frac{y}{x}=y'}\)
jaką metodą to rozwiązać i czy można tu rozdzielić zmienne?

[BettyBoo]

Rozdzielić nie. Jeśli przekształcisz to do postaci

\(\displaystyle{ y'-\frac{1}{x}y=x^2}\)

to zobaczysz, że jest to równanie liniowe (metodę rozwiązywania zapewne znasz).

Pozdrawiam.

[Andreas]

Niestety nie znam metody

[BettyBoo]

Najpierw rozwiązujesz pomocnicze równanie jednorodne, tzn

\(\displaystyle{ y'-\frac{1}{x}y=0}\)

a potem tzw. metoda uzmienniania stałej. Jeśli nie wiesz o co chodzi, to wystarczy zajrzeć do pierwszej z brzegu książki z zakresu równań różniczkowych zwyczajnych.

Rozwiąż powyższe równanie, to podpowiem Ci co dalej, jeśli nadal nie będziesz wiedział.

Pozdrawiam.

[Andreas]

\(\displaystyle{ y'=\frac{y}{x} \\
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x} \\
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x} \\
\ln|y|=\ln|x|+C}\)
Tak dobrze?

Niestety nie wiem co dalej

[i105n2k]

\(\displaystyle{ \ln|y|=\ln|x|+C}\)
Tak dobrze?

Niestety nie wiem co dalej

Tak. Dalej wygodnie będzie zapisać C jako \(\displaystyle{ ln|C|}\), pozbywamy sie logarytmów i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ y=Cx}\)
Uzmienniamy stałą
\(\displaystyle{ y=C(x)x}\)
Różniczkujemy obustronnie
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{dC(x)x}{dx} +Cx}\)
Wstawiamy do pierwotnego równania:
\(\displaystyle{ \frac{dC(x)x}{dx} +C(x)-C(x)= x^{2}}\)
Porządkujemy i rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ dC(x)= x dx}\)
Całkujemy otrzymując
\(\displaystyle{ C(x)= \frac{ x^{2} }{2}}\)
Otrzymane C(x) wstawiamy do równania z uzmienniania stałej i cieszymy się rozwiązanym zadaniem
Odp:
\(\displaystyle{ y= \frac{ x^{3} }{2}}\)

[Mariusz M]

i105n2k, no nie jest to prawidłowa odpowiedź

(czegoś brakuje)

\(\displaystyle{ x^2+\frac{y}{x}=y'}\)

\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x}=x^2}\)

Skorzystam z czynnika całkującego (tak będzie szybciej)

\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x}=x^2}\)

Czynnik całkujący to \(\displaystyle{ e^{ -\int{ \frac{1}{x} \mbox{d}x }}= \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ y' \cdot \frac{1}{x}- \frac{1}{x^2} \cdot y=x}\)

\(\displaystyle{ \left( y \cdot \frac{1}{x} \right)'=x}\)

\(\displaystyle{ y \cdot \frac{1}{x}= \frac{x^2}{2}+C}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{x^3}{2}+Cx}\)

Twoje rozwiązanie byłoby prawidłowe gdyby był nałożony pewien warunek początkowy

[Andreas]

Twoje rozwiązanie byłoby prawidłowe gdyby był nałożony pewien warunek początkowy

W zadaniu był podany warunek początkowy ale nie napisałem. y(2)=8
w którym miejscu rozwiązania i105n2k należy to podstawić?

[Mariusz M]

Andreas,

Stałą całkowania obliczasz zgodnie z podanym warunkiem początkowym

\(\displaystyle{ 4+2C=8}\)

A rozwiązanie i105n2k, byłoby poprawne gdyby z warunku początkowego stała wyszła zero

[Andreas]

A rozwiązanie i105n2k, byłoby poprawne gdyby z warunku początkowego stała wyszła zero

A która część tego rozwiązania jest niepoprawna? Bo chciałbym znać także tą drugą metodę

[Mariusz M]

Andreas, na samym końcu całkując funkcję uzmiennionej stałej zapomniał o stałej całkowania