znaleźć rzut prostej

[kasiula906]

znaleźć rzut prostej \(\displaystyle{ \frac{x}{4}= \frac{y-4}{3}= \frac{z+1}{-2}}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ x-y+3z+8=0}\).

[Crizz]

Najpierw zapisujesz równanie tej prostej w postaci kierunkowej:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=4t \\ y=3t+4 \\z=-2t-1 \end{cases}}\)

Znajdujesz punkt wspólny \(\displaystyle{ A}\) prostej i płaszczyzny:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x-y+3z+8=0}\)
\(\displaystyle{ 4t-3t-4+3(-2t-1)+8=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ A=\left(\frac{4}{5},\frac{23}{5},-\frac{7}{5}\right)}\)

Jest to jednocześnie jeden z punktów szukanej prostej. Wystarczy znaleźć jeszcze jeden punkt.

Weźmy dowolny inny punkt prostej danej w zadaniu, np. \(\displaystyle{ B(4,7,-4)}\) i znajdźmy jego rzut \(\displaystyle{ B'(x,y,z)}\). Wektor \(\displaystyle{ \vec{BB'}=[x-4,y-7,z+4]}\) jest równoległy do wektora normalnego podanej płaszczyzny, czyli istnieje takie niezerowe \(\displaystyle{ k}\), że:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-4=k \\ y-7=-k \\ z+4=3k \end{cases}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=k+4 \\ y=-k+7 \\ z=3k-4 \end{cases}}\)

Wiemy też, że \(\displaystyle{ B'}\) należy do podanej płaszczyzny, czyli jego współrzędne spełniają równanie tej płaszczyzny:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (k+4)-(-k+7)+3(3k-4)+8=0}\)
\(\displaystyle{ k=\frac{7}{11}}\)

Wstawiasz teraz otrzymane \(\displaystyle{ k}\) do przepisów na \(\displaystyle{ x,y,z}\) i masz współrzędne punktu \(\displaystyle{ B'}\).

Myślę, że ze znalezieniem równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty sobie poradzisz. Sprawdź jeszcze bardzo dokładnie obliczenia.