Znaleźć granicę ciągu o wyrazie ogólnym

[adam01s]

1.
\(\displaystyle{ u _{n}=(1- \frac{4}{n}) ^{-n+3}}\)
2.
\(\displaystyle{ u _{n}=( \frac{n ^{2} +2}{2n ^{2}+1 }) ^{n ^{2} }}\)

[cosinus90]

1. Musisz dążyć do liczby e.
2. Wyłącz \(\displaystyle{ n^{2}}\) w ułamku przed nawias.

[adam01s]

Właśnie próbowałem dążyć do e, ale nie wiem jak.

[Fingon]

Wskazówka: jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{a_n})^{a_n} = e}\)

Przykład pomocniczy do zadania 2, oblicz: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n}\)

[adam01s]

Niestety wciąż nie umiem tego rozwiązać.

[abc666]

\(\displaystyle{ \left( \frac{n ^{2} +2}{2n ^{2}+1 }\right) ^{n ^{2} }=\left( \frac{1 +\frac{2}{n^2}}{2+
\frac{1}{n^2} }\right) ^{n ^{2} }\xrightarrow{n\to \infty} 0}\)

[cosinus90]

W zad.1:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty } (1- \frac{4}{n}) ^{-n+3}=\lim_{n \to\infty }(1+ \frac{1}{ \frac{-n}{4} })^{ \frac{-n}{4} \cdot \frac{-n+3}{ \frac{-n}{4} } = ...}\)

Mówiąc o tym, żebyś dążył do liczby e, właśnie to miałem na myśli. Teraz pierwszy człon zredukuje się właśnie do liczby e, a do czego dąży reszta - łatwo obliczyć.

[adam01s]

Dzięki-- 6 wrz 2010, o 14:27 --Sprawdziłem odpowiedzi i się nie zgadzają \(\displaystyle{ 1:e ^{4}, 2:e ^{ \frac{3}{2} }}\)

[abc666]

Jeśli zadanie pochodzi z Krysickiego Włodarskiego to odpowiedź do drugiego jest błędna. Poprawna to zero. W pierwszym widocznie coś źle policzyłeś. Pokaż obliczenia.

[adam01s]

Już wiem, dzięki